用分数（M / N）表示无理数√ 2近似值的各种方法及广义扩充（1）

—— 《2的平方根》读书笔记

一  前言

最近读了一本“发现数学从书”中的《2的平方根》，2010年上海科技教育出版社出版，(爱尔兰) 戴维.弗兰纳里著，郑练译。32开本306页，原价24元，是在卓越网上以3—5折买来的。

书中以师生对话的形式，首先讲述无理数√ 2的发现，应用，无理性的论证等内容。随后，主要讲述用分数M/N来逼近无理数√ 2的原理，用分数M/N表示√ 2近似值的各种方法，如 步步递推法、斐波那契式递推法、平方培增法、立方培增法、乃至四方、五方培增法。最后还列出165位的√ 2近似值。

 

有一个问题是，√2可以用有限小数来表示其近似值，如√ 2=1.4 、√ 2=1.4142等等，为什么又要用分数M / N (如7/5、 41/29等等)来表示呢？愚以为无限小数总有取位问题，一取位，精度就有损。而分数M / N没有取位问题，在约分时可能计算得更精确些。用分数M / N来表示√ 2近似值，在其他论著中似乎没有见到过，所以觉得有点新鲜。

看后，觉得用分数（M / N）表示√ 2近似值，其叙述方式有启发，特别是根据少量数值归纳出数列的递推有启发。

另外，我对类似的√ 3、√ 5、√ 7等，也效仿作了M/N及其数列的递推，并在电脑协助下作了大量试算，最终发现一个用分数（M / N）表示质数平方根√Z最佳近似值的新方法。所以作此笔记。

但是，用分数（M / N）表示无理数近似值，到底有什么实用价值或理论意义，我还是不明白。我就这样忙了一个星期，经历了由极小量数据归纳出递推公式的历程，最终竟发现了一个用分数M/N逼近无理数的简便新方法，十分自得，自我感觉良好。老伴淡定的说，反正是小孩玩泥巴，只要开心就好。

在老年人群中，自有众多的麻将者、旅游者、酒肉者、抄股者、歌舞者、书画者、打工者、家务者、受骗者、病痛者，也有少量的诈骗者、无为者，乃至弄权者。

而我只是一个学习者。是一个数学知识浅薄而又崇敬数学的数学爱好者。我在没有路标的数学小道上独行，没有伴侣，没有知音，独行而已。但每当我在独步中有所省悟或发现一些数学道理的时候，就内心充实，发觉自己的存在。数学大师笛卡尔有句哲理名言：我思，故我在。此之谓也。

 

二  用分数（M / N）表示√ 2近似值的“列表查找法”

√ 2的近似值以小数表示，有一系列不同精度的1.4 、1.414 、1.4142、1.4142135等等，但怎样找出一系列分数M/N来表示不同精度的√ 2的近似值呢？

√2是无理数，是不可能用分数表达的，所以√ 2=(M / N₁) 、2= M²/ N₁²、 M² =2N₁²、M²-2N₁²=0 等等是不可能的。但是，若调整N₁为N，要求M²-2N² =±1则是可能的，此时的M/N就不是√ 2，而是√ 2的近似值。再则，同一个M，若取不同N，则只有满足

 (M²-2N² =±1) 的M/N，才是最接近√ 2 的近似值。例如当M=17时，可以有不同N组合，如:       17/11=1.54541    17/12=1.41666    17/13=1.3076 等等

但其中只有17/12是最接近于√ 2的。因为它的M²-2N²=17*17-2*12*12=289-288=1。而别的17*17-2*11*11=47 、17*17-2*13*13=49，都不等于1。所以M/N=17/12 才是√ 2的最合适的近似值。

可见，M 要有合适的N，要符合M²-2N²=±1，才是计算最优√2近似值的关键。

又，不同的M，它们的M/N也有不同的精度。M越大精度越高。如41/29比17/12的精度要高，因为41>17。

怎样找到最合适的M/N呢？最老实的方法是下死工夫，先列出M（N）、M²、2N²，再找出M²-2N²=±1的一对M、N，得到M/N。见下表。

 

  M(N)     M²     2N²       M(N)     M²     2N²     

1             1       2                 11          121     242

2            4               8                 12          144     288

3            9             18                 13          169     388        

4          16             32             

5          25           50                   17          289      578        

6         36           72                      

7         49           98                     

8        64           128                   29          841     1682

9        81          162                    

10    100          200                     41         1681      3362

     结果在41之内，仅找出5对M / N。 

M    N     M²       2N²       M²  -  2N²     M / N  

1     1      1           2                -1            1/1

3     2      9           8                 1            3/2

7     5     49         50               -1            7/5

17   12    289     288                1          17/12

41   29    1861    1862            -1          41/29

                                      

最终得到  1/1  3/2  7/5  17/12  41/29 ，再往下找，当然还有，但找多远，心里无底。

靠这种笨方法去查找某一分数M / N作√ 2高精度的近似值，很烦。

 

三  用分数（M / N）表示√ 2近似值的“步步递推法”

靠“列表查找法”寻找出这些分数M / N来表示√ 2的近似值，方法没错，但太麻烦了。是不是可以利用前面的M _i / N _i 找出后面的M _i+1 / N _i+1呢？经试凑，归纳出递推公式，即由前一式i推出后一式i+1。根据√ 2的  1/1  3/2  7/5  17/12  41/29 ，归纳出以下递推公式:

 

M _i+1 / N _i+1 = (M _i +2N _i）/（M i+N _i )。  怎样递推计算，请看:

1/1  →（1+2*1）/（1+1）=3/2 → (3+2*2）/3+2）=7/5  →（7+2*5）/（7+5）=17/12 → 

→（17+2*12）/（17+12）= 41/29    →  （41+2*29）/（41+29）= 99/70  →  

→（99+2*70）/（99+70）= 239/169  → … 以下略

 

便得到以下分数数列M/N 及 对应着√ 2的近似值 √ 2≈ 与误差 d √ 2。并且越往后，√ 2的近似程度越高，即误差越小，且正负相间。真正的无理数√ 2，就隐藏在此正负之间。

    

列号   1   2   3   4     5      6      7      8    

M/N        1/1       3/2       7/5      17/12       41/29            99/70           239/169        577/408      

√ 2≈       1         1.5      1.4      1.4166…   1.41379…  1.41428…   1.414201…  1.414215…  

d√ 2      -0.41    0.08   - 0.01    0.002      - 0.0004          0.00007       - 0.00001         0.000002   

 

列号   9         10      11        12        13  … 

M/ N    1393 / 985        3363 /2378      8119 /5741    19601/ 13860     47321/33461

√ 2≈   1.4142131…    1.4142136…   -.41421355…   1.41421356…    1.414213562…

d √ 2   -0.0000006      0.00000006     -0.00000001     0.000000002     -0.0000000003

 

列号      14        15              16   以下略  

M/ N          114243 / 80782           275807 / 195025          665857 / 470832  

√ 2≈         1.414213562         1.41421356236…     1.41421356237469

d √ 2         0.00000000005         -0.00000000005         0.0000000000003

 

这些M / N要经过一步一步的 (M _i +2N _i）/（M i+N _i ) 的计算才能得到。递推工作也不少，也很烦。

我便编程，让动作飞快但很听话的电脑笨蛋去一一寻找。

 

Private Sub Form_Click() : Form1.Width = 11520 : Form1.Height = 15360

        X = InputBox("输入要开X方的X =")

        For M = 1 To 10000

           For N = 1 To 8000

                 If (M * M - X * N * N = 1) Then Print M; N; 1

                 If (M * M - X * N * N = (-1)) Then Print M; N; -1

           Next N

Next M

Print Spc(4); "成功"

End Sub

输入X=2后，当M在10000内时，√2的近似值M / N有11个:

列号  1   2   3  4    5   6   7     8      9      10    11  

M / N  1/1   3/2     7/5  17/12  41/29   99/70  239/169  577/408  1393 /985  3363 /2378  8119 /5741

M²-2N²= -1  1  -1   1  -1   1    -1    1     -1      1     -1

注意到，相邻M/N的M²-2N² 值，是+1、-1相间的。

 

那末是否还有一种跳跃式的递推法呢？有。那就是采用由前两列推第三列的方法，即由1、2列推出第3列，由2、3列推第5列，由3、5列推出第8列，由5、8 列推出第13列等等，这种跳跃的方法，类似于“斐波那契数列”。

 

 

三  用分数（M / N）表示√ 2近似值的“斐波那契式”法

 

所谓“斐波那契数列”，就是由0 、1开始，以前两列之和作为后面之列。便得到

0     1  1    2    3    5    8    13    21    34    55    89    144    233 …

 

应用到√ 2近似值的分数表示，即由前两列m /n  与  P/Q，推得第三列M / N。但M / N不是由前两列的和或乘求得的，而是采用新算法 (推证见后):

 

M / N = （mP+2nQ）/（mQ+nP）  请看递推演算:

 

m /n      P/Q     →     （mP+2nQ）/（mQ+nP）    =   M / N  

1/1       3/2     →    （1×3+2×1×2）/ 1×2+1×3）  =      7 / 5

3/2    7/5    →   （3×7+2×2×5）/（3×5+2×7）  =     41 / 29   

7/5    41/ 29  →  （7×41+2×5×29）/ 7×29+5×41）   =  577 / 408

41/29   577/408 → （41×577+2×29×408）/（41×408+29×577） = 47321 / 33461      

577/408  47321 / 33461                     = 54608393 / 38613965

 

以下递推略，得列号(实际是“步步递推法”的列号)与M / N 的对照表如下:

 

列号  1   2  3   5     8     13             21     

M / N 1/1  3/2  7/5  41/29  577/408  47321 / 33461  54608393 / 38613965

 

由此可见，斐波那契式递推法有跳跃功能，跳过多段分数，递推速度加快。√ 2误差也迅速递减，很好。一般而言，取M/N=47321 / 33461作为√ 2的近似值，误差为0.0000000003，精度已足够了。但是，47321 / 33461是有理数，而√ 2始终是无理数，这一点不要忘记。

  

“斐波那契式”传递公式的推证

 

已知前二列  m/n与 P/Q 是怎样得到下一列 M / N = (m P + 2nQ) / (m Q +nP ) 的呢？

 

第一个列m/n有m² - 2n² = 1 (或-1)

第二个列P/Q有P ² - 2Q² = -1 (或 1)，两式相乘

(m²-2n²) (P ²-2Q²) = -1

m² P ² + 4n²Q² - 2m² Q² - 2P ²n² = -1   为了能化成二数和的平方，要加减4mnPQ，得

m² P ² +4mnPQ + 4n²Q² - 2m² Q²  - 4mnPQ - 2P ²n² = -1

( m² P ² +4mnPQ + 4n²Q² )  -  2(m² Q² + 2mnPQ +n²P ² )= -1

(m P + 2nQ ) ² - 2 ( m Q +P n) ² = -1

令M=(m P + 2nQ )  、 N=( m Q +P n) ，则MM - 2NN= -1  成立，就是说明分数M/N符合近似值的原则M² - 2N² = -1

 至此可知，由  m/n 与P/Q二列分数，可用公式  M/N=(m P + 2nQ) / (m Q + nP)  得到新的分数M / N列。

 

四  用分数（M / N）表示√ 2近似值的“平方培增法”法

 

若“斐波那契式”递推公式中后一列等于前一列P/Q=m/n  ，即P=m  Q=n，则

由m/n  m/n也可得到M/N。即

      M/N = (m P + 2nQ) / (m Q + nP) = (mm + 2nn) / (m n +m n) = (m² + 2n²) /2mn 。得

 

M/N= (m² + 2n²) /2mn     这叫平方培增法，请看递推演算:

 

m /n   m/n       →         (m² + 2n²) /2mn      =   M / N  

1/1     1/1        →   （1×1+2×1×1）/ 2×1×1）     =  3 / 2

3/2   3/2      →   （3×3+2×2×2）/（2×3×2）    =  17 / 12   

17/12  17/12    →  （17×17+2×12×12）/（ 2×17×12） =  577 / 408

577/408  577/408  → 577×577+2×408×408）/（2×577×408）=665857 / 470832      

665857 / 470832  →    =  886731088897/627013566048 = (1.41421356237)

 

以下的递推略去，得“步步递推法”列号与“平方培增法”M / N 的对照表

 

列号   1   2    4     8       16              32   

M / N  1/1  3/2  17/ 12  577/408 665857 / 470832 886731088897 / 627013566048

 

由此可见，平方培增法跳跃功能比“斐波那契式递推法”更大，仅5步运算，就到达“步步递推”的第32步。误差也由 -0.41、0.08、0.002、0.000002、0.000000000003、0.0000000000001迅速递减，方法更好。

 待续