用分数（M / N）表示无理数√ 2近似值的各种方法及广义扩充（  完）

                         —— 《2的平方根》读书笔记

五  用分数（M / N）表示√ 2近似值的“立方培增法”

 

步步递推法以一步一步的推，斐波那契式递推以1、2、3、5、8、13…的速度跳跃，平方培增法以1*2*2*2*2…的速度跳跃，立方培增法就以1*3*3*3*3…的速度跳跃。即由

m/n    m/n  m/n        得到M/N。转换为:

m/n  （m/n  m/n）      又转换为:

m/n   (m² + 2n²) /2mn     相当于

m/n 、 P /Q    →  M / N ，此时P=(m² + 2n²) 、Q=2mn

由  m/n 、 P /Q    →  M / N 已有公式  M/N=(m P + 2nQ) / (m Q + nP)

将P=(m² + 2n²) 、 Q=2mn代入上式，得

 M/N= (m (m² + 2n²) + 2n×2mn) / (m×2mn + n(m² + 2n²))

 

M/N= (m³+6mn²) /3m²n+2n³       我用电子表格递推演算:

 

m          n      M=(m³+6mn²)    N=（3m²n+2n³）

1                        1                   7                  5

7                  5                  1393                 985     

1393                  985                     10812186007         7645370045

10812186007       7645370045        5.05592E+30         3.57508E+30

 

得到以下数列:

列号   1       3        9                             27            81         

M/N   1/1     7/5    1393/985   10812186007/7645370045   5.05592E+30/3.57508E+30

 

六  用分数（M / N）表示√ 2近似值的“四方培增法”

 

即由     m/n   m/n   m/n   m/n      去得到M/N。转换为:

(m/n  m/n)  (m/n   m/n)      又转换为:

[ (m² + 2n²) /2mn ]   [ (m² + 2n²) /2mn ]  去得到M/N。 

令   [ (m² + 2n²) /2mn ] = A / B ，即A=(m² + 2n²) 、B=2mn，则有

 A/B    A/B  →  M/N

 M/N = (A² + 2B²) /2AB = [ (m² + 2n²)² +2*4m²n² ] / [2*(m² + 2n²)*2mn]

=[M⁴ + 4m²n²+4n⁴+8m²n² ] / [4 m³n +8mn³] ，最后

 

M/N=（m⁴ + 12m²n²+4n⁴ ）/（4 m³n +8mn³）    我用电子表格递推演算:

m           n     M=（m⁴ + 12m²n²+4n⁴ ） N=（4 m³n +8mn³）

1                                1                        1 7                                   12

17                            12                       665857                            470832   

665857                    470832               1.57258E+24                  1.11198E+24

1.57258E+24        1.11198E+24       4.89266E+97                  3.45964E+97

 

得到以下数列:

 

列号   1      4             16                 64             256            

M/N       1 / 1     17 /12        665857/ 470832      1.57258E+24/1.11198E+24      4.89266E+97 / 3.45964E+97

 

我不懂计算机的大数运算，超过10位 只能用科学表达式了。再往下递推到1024列，则显示 #NUM，表示有错误了。

 

书上还列有五倍增与六倍增的公式，我就不再作验证推导与演算了，抄录如下。

五倍增的公式  M/N=m⁵+20m³n²+20mn⁴ / 5m⁴n+20m²n³+4n⁵

六倍增的公式  M/N=m⁶+30m⁴n²+60m²n⁴ / 6m⁵n+40m³n³+24mn⁵ 

七  学习心得: 用分数（M / N）表示质数平方根√Z最佳近似值的一个新方法

 

在阅读《2的平方根》后，便想到，用分数M/N可以表示√ 2近似值，那么也可以类推到√ 3 与√ 5等无理数。先类推到√ 3 。

 

1   以MM - 3NN = ±1的公式，不必手工列表查找，而用编程(见第三节)，求得（M / N）。输入X=3，得M在100之内的M/N数列为:

2/1   7/4   26/15   97/56   

 2   由上述4个分数M/N，用归纳法得到出递推公式为

 M _i+1=2M i+3N _i  、N _i+1=M i+2N _i 。可以得到更多的数列：

2/1   7/4   26/15   97/56   362/209  1351/780  5042/29119  18817/10864

 

3  用“斐波那契式”法求（M / N）。即由第1、第2列推出第3列。

            第一列 m/n有m² - 3n² = 1 (或-1)

    第二列P/Q 有P ² - 3Q² = -1 (或 1)    

两式相乘等于-1 ，即 (m²-3n²) (P ²-3Q²) = -1，展开为:

m² P ² +9n²Q² - 3m² Q² - 3P ²n² = -1   为了能化成二数和的平方，要加减6mnPQ，便得

m² P ²  + 6mnPQ + 9n²Q² - 3m² Q²  - 6mnPQ - 3P ²n² = -1

( m² P ²  +6mnPQ + 9n²Q² )  -  3(m² Q² + 2mnPQ +n²P ² )= -1

(m P + 3nQ ) ² - 3 ( m Q +P n) ² = -1

令M=(m P + 3nQ )  、 N=( m Q +P n) ，则MM - 2NN= -1  成立，就是说明分数M/N符合√ 3近似值的原则M² - 3N² = -1。所以第3列为

 

   M/N=(m P + 2nQ) / (m Q + nP)   即 M=(m P + 3nQ ) 、N=( m Q +P n)。 用电子表格算得:

 

 

m       n       P        Q          M      N       

2        1      7        4          26         15

7        4      26       15         362        209

26       15      362     209         18817       10864  

362     209      18817    10864        13623482     7865521

18817    10864   13623482   7865521      5.12706E+11   2.96011E+11

13623482  7865521  5.12706E+11  2.96011E+11   1.39697E+19   8.0654E+18

 

得到以下类似斐波那契数列的M/N

 

列号 1    2      3             5       8                13            21         34          55

 2/1 7/4  26/15  97/56 362/209  1351/780   5042/29119    18817/10864    13623482/7865521

 

4   用“平方培增法” 求（M / N）

上面公式M/N = (m P + 3nQ) / (m Q + nP)  中，若 P=M  Q=N ，则

M/N= (m² + 3n²) /2mn

即，只要有第1列m/n，就可求得第2列。有第2列，就可求得第4列、第8列、第16列等等。电子表格演算如下:

 

m        n        M=m² + 3n²     N=2mn     

2         1       7          4  

7         4       97          56  

97        56      18817         10864  

18817     10864    708158977     408855776          

708158977  408855776  1.00298E+18     5.7907E+17            

1.00298E+18 5.7907E+17   2.01193E+36   1.16159E+36    得

 

     1     2         4                 8                               16                         32      

       2/1   7/4    97/56    18817/10864     708158977 /408855776    1.00298E+18/5.7907E+17

 

其中，相当于“步步递推”的第16列708158977 /408855776 =1.732050807568880，精度达小数后14位。就是说，M/N=708158977 /408855776，可以代表√ 3的最佳近似值。

 

在得到求√3近似值公式为M/N= (m² + 3n²) /2mn 后，我又推证了

求√5近似值公式为M/N= (m² +5 n²) /2mn ，它们与用“平方培增法”

求√2近似值公式为M/N= (m² + 2n²) /2mn 相比，就类比引伸出

求√x近似值公式为M/N= (m² +X n²) /2mn 。

 

这是我的一个收获，《2的平方根》这本书我没有白读。

 

由此又想到，如果知道了X平方根的第一个分数m/n后，那么就不必先归纳出递推公式，再一步一步的递推，或快速一点用斐波那契式去跳跃递推。都不必了。只要用“平方培增法” 的公式  (m² +X n²) /2mn  就可直接求得最有代表性的M / N了，多么省事省力。当然，它们可能是第16列，也可能是第8、第4列，甚至可能是第2列，但它们都精确到小数后第11位。

我就计算出了100之内的25个质数2  3  5  7  11  13 ……  83  89  97的平方根代表分数M/N如下表。合数是质数的乘积，合数平方根就是质数平方根的乘积，如√6=√2*√3等，所以不再去算它们的分数M/N了。

 

 

用精度较高的分数M / N表示质数Z的平方根    M/N≈√Z    

 

质数Z   一个m/n                   M     /      N       √Z近似值    

2     1/1      665857    /    470832     1.41421356237    

3     2/1     708158977   /    408855776   1.73205080756    

5    2/1       5374978561  /   2403763488   2.23606797749

7    8/3       2081028097  /   786554688   2.64575131106     

11    10/3     12545596801  /   3782639760   3.31662479035  

13   18/5      842401     /   233640    3.60555127546        

17    4/1      9478657     /  2298912    4.12310562561 

19    170/39    6681448801   /  1532829480  4.35889894354        

23    24/5      2649601   /   552480     4.79583152331  

29   70/13      192119201  /   35675640   5.38516480713  

31    1520/273   4620799   /   829920    5.56776436283

37   6/1       227143297  /   37342128   6.08276253029

41    32/5      8396801  /     1311360   6.40312423743

43    3482/531   24248647  /    3697884    6.55743852430

47   48/7      42448897   /   6191808    6.85565460040

53   182/25     8777860001 /    1205731800  7.28010988928     

59   530/69     561799    /   73140      7.68114574788

61   29718/3805  1766319049  /   226153980   7.81024967590   

67   48842/5967  4771081927  /   582880428   8.18535277187

71   3480/413   24220799   /   2874480    8.42614977317   

73   1068/125    2281249   /   267000     8.54400374531

79   80/9      327628801  /   36861120    8.88819441731

83   82/9      361643617  /   39695544    9.11043357914

89   500/53    500001     /   53000     9.43398113207  

97   5604/569   62809633   /   6377352    9.84885780179                   

  附 √ 5  √ 6  √ 7 的m/n数列及数列的递推公式

 

在推证√ 3的各种公式时，我对√ 5  √ 6  √ 7 等也作了类推，最后才敢肯定“平方培增法”的通式 M/N= (m² +X n²) /2mn 。才敢计算质数z平方根√ Z的分数M/N。故记下这些成果:   

√ 5的 m/n数列      2/1   9/4   38/17   161 /72   682/305  2889/1292   

√ 5数列的递推公式  M _i+1=2M i+5N _i     N _i+1=M i+2N _i

 

√ 6  m/n数列       5/2  49/20   485/198   4801/1960

√ 6数列的递推公式  M _i+1=5M i+12N _i   N _i+1=2M i+5N _i

 

√ 7的m/n数列      8/3   127/48  2024/765

√ 7数列的递推公式  √M _i+1=8M i+21N _i   N _i+1=3M i+8N _i       并算得:

 

1     2     3       4       5         6       

8/3   127/48   2024/765   32257/12192   514088/194307   8193151/3096720   

 

7               8               9      …    

130576328/49353213      2081028097 /786554688     33165873224/12535521795   …

 

全文完