《同文算指》中已知长方形面积及边长差(或和)

求边长的“带从开方”算例。兼论最好的解算方法 续

二     兼论最好的解算方法

“积较和相求开平方诸法第十四”——积和求较原文：

凡以积和求较者，以和自乘，以积四因，相减，开其余，得较。

假如直田积864步，长阔和六十步，求长多阔几步者。用和自乘，又，四因直积。以少减多，余一百四十四平方，开之，得差一十二步。

题意。设长方形的长为A、阔为B。已知面积AB=C=864、和(A+B)=b=60，求差(A-B)。

解题思路。由已知AB=C、(A+B)=b可推导出 方程B²+bB=C与A²+bA=C。通式为:

     X²+bX=C   

《同文算指》求(A-B)的方法，是采用公式:  (A-B)²=(A+B )² - 4AB=b²- 4C  …（1）

 第一步，解（A-B）。将(A+B) = b = 60 、AB = C = 864，代入（1），有

(A-B) ² = 60*60-4*864 = 3600-3456 = 144。

(A-B) = √ (A-B) ² = √ 144 = 12。  但还没有解得A、B。

第二步，解A、B。

已知A+B=60、又有了A-B=12，则

A=[ (A+B)+(A-B)] / 2 =(60+12)/2=36   ……（2）

B=[ (A+B)-(A-B)] / 2 =(60-12)/2=24   ……（3）

至于积较求和，则有公式 (A-B)² +4AB = (A+B ) ² 。以下为算例。

（一）已知积、和，求较。再算A、B。 

 (A+B ) ²- 4AB = (A-B)² 、  A=[ (A+B)+(A-B)] / 2 、 B= (A+B) - A 

（二）已知积、较，求和。再算A、B。 

 (A-B)² +4AB = (A+B ) ²  、A=[ (A+B)+(A-B)] / 2 、 B= (A+B) - A 

注意: 其中AB=2209、A-B=0者，即47*47的正方形。

这就是说，己知积C及和b，或己知积C及较b ，都可以用两个公式直接算得长方形的长A与阔B，不必作两次“带从开方”。整个计算用传统数值开方一次，加减各一次，除以2两次，多么省便。即：

（一）已知积、和，求较。再算A、B。

第一步求(A-B)。   (A-B) = √ (A+B) ²-4AB = √ b²-4C  

第二步求A、B。   A=[ (A+B)+(A-B)] / 2 、  B=[ (A+B)-(A-B)] / 2 

( 二）已知积、较，求和。再算A、B。 

第一步求(A+B)。   (A+B)=√ (A-B ) ²+4AB = √ b² +4C

第二步求A、B。   A=[ (A+B)+(A-B)] / 2 、  B=[ (A+B)-(A-B)] / 2

合并为一个公式  A(或B) = b ± √ b²- 4C 。

对于 X²+bX=C 来说，求根公式则为

X = (b± √ b²- 4C ) / 2

原来这就是  aX²+bX=C 在a =1 时的求根公式。这真是我的一个意外发现。中国古算已经知道了求(A-B)的公式 (A-B) =√ b²- 4C ，但为什么想不到下一步就可得到X²+bX=C的求根公式，一次性就算得A、B呢？真可惜了。

一元二次方程 aX²+bX=C的求根公式 X=( -b ± √ b²- 4C ) / 2a 是用“配平方法”求得的，我就不去当文抄公了。但 (A-B)² = (A+B)² - 4AB  这个公式是怎样来的呢，有必要搞懂。

 (A+B)² - 4AB= A²+2AB+B² - 4AB=A²-2AB+B²=  (A-B ) ²    证毕。

那么其几何意义是什么呢？《同文算指》上就有一幅图形，公式的正确及几何意义也一目了然了。用拼图证明公式很奇妙，真是有灵性啊。

全文完