2、中段数形结合数学重提炼升华

三四年级的学生已经具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。这就需要教师深挖教材，在设定数形结合的目标时要从低年级的感悟体验向有意识的引导学生主动形成数形结合的方法。这样更符合儿童的思维发展规律。

[案例十一]《平均数》（西师版教材四下126-127页）

一、情景导入，感知平均数引入的价值

1、两队人数相同，比总个数。

（1）出示情境图，图中小朋友在玩套圈游戏。

师：小明和小红都套了10次，小明套中了7个，小红套中了5个，谁套得准一些？如是不是他们俩比赛，而是男生队和女生队在比赛，这时候能说是男生队套得准吗？

生：不能，一个人的成绩不能代表全部。

出示第一组男、女生套圈情况的条形统计图。

师：从图中你得到哪些信息？

……

师：你认为那个队套得准一些？

生：女生队套得准一些，因为刘红套中的最多。

生：反对，赵丹套中的还最少呢！看来某一个人的成绩不能代表整个队伍的水平。从图中除了看出他们分别套中了多少个，还能知道什么？

生：男生队一共套中了17个，女生队一共套中了16个。

师：看来我们通过比较每个队套中的总个数就可以知道是哪个队赢了。

（设计理念：平均数是反映一组数据集中趋势的统计特征量。尊重学生的已有认知，将感悟平均数的意义置于数据比较的现实情境中，精心设计序列化的问题情境，引导学生感悟个体数据的比较方法，经历群体数据比较时由比极端数据过渡到比总数的过程，感悟个体数据与群体数据的联系与区别。）

二、渗透数形结合思想，建立模型

两队人数不同，比平均数，发现求平均数的方法。

（1）移多补少。

师：我们来看男、女生第二组套圈统计图，你认为那个队赢，为什么？

生：男生队总共套中了15个，女生队套中了16个而男生只有3个人，女生4个人，要么男生增加1个人或女生减少1个人的。

师：减少女生那一个呢？看来减去杨阳女生不干，减去李晶晶男生不干。

生：比较每个队每个人平均套中多少个就行了。

师：男生每人是几个？

生：5个。

师：你是怎么看出来的？

生：刘辉移1个给王强。

师：现在3个男生每个套中的个数变得同样多了，女生呢？

生：林小芳移1个给丁梦，杨阳移3个给李晶晶。

师：演示移动过程并总结，像这样从多的里面移一些补给少的，便得每个数都一样多。这一过程叫“移多补少”。

数学上，我们把通过移多补少得到的同样多的这个数，就叫做原来这几个数的平均数。比如：在这里，5表示男生队平均每人套中的个数，4表示女生队平均每人套中的个数。我们就说5是6、5、4这三个数的平均数，它代表了男生队套圈的平均水平。

师：女生队套中的平均数是4，这个4空间是谁套中的个数，生：4是女生平均每人套中的个数，是四个数的平均数，它代表女生队套圈的平均水平。

师：现在你们认为那个队赢了？看来，两个队的人数不一样，每人套中的个数也不同的时候，要比较两个队的整体水平，我们可以通过移多补少，得到两队的平均数，然后再比较。

（创设更为特殊的两组数据比较的问题情境，设置由“比总个数”自然过渡到对“比较平均每个人套中的个数”的认知台阶，顺其自然地引出了用“移多补少”的方法找到那个“每个人套人个数一样”的数，实际上就是平均数。然后让学生辨析一组数据的平均数与其中各个数的区别，初步理解平均数的意义。）

（2）先合后分

课件出示捐款条形统计图。星期一捐款2.5万元，星期二捐款2.7万元，平均每天捐款多少万元？

师：你能很快看出平均每天捐款多少万元吗？

生：从星期二里面移0.1给星期一，这样两天都是2.6万元。

师：课件再出示星期三到星期天每天的捐款数为3.0、2.8、3.1、3.3、3.6万元，这时你们能看出平均每天捐款多少万元？

生：太多了，通过“移多补少”太麻烦。

师：你们讨论一下，有没有更加简单的法子。

生：我们可以先把七天捐款的合在一起再来平均分配算到每一天就行了。

师：真是一个快捷的办法，这种办法叫做“先合后分”法。

师：你觉得什么时候用移多补少的方法比较快？什么时候用先合后分的方法比较好？

生：数量少的时候用移多补少的方法，数量多、数字大的时候用先合后分的方法。

师：我们算出来平均每天捐款3万元，这3万元是什么意思？

生：是这一星期平均每天捐款的数量。

师：大家观察虚线上下的量，你发现什么？

生：虚线上的量的总和和虚线下的量的总和一样多。

（此环节从经验到数学，从简单到复杂，从单一到多元，从技巧到方法，让学生知道根据解决问题的需要选择合适的方法。等差性是平均数的一个重要特点。虚线使学生从图上直观看出走出平均数的部分和不足平均数的部分一样多，从而理解为什么可以用移多补少求平均数，感悟平均数的特点，为后面估计平均数范围伏笔。）

三、运用数形结合思想，解决问题

1、你能直接说出下列各组数的平均数吗？

（1）7、8、9

（2）3、8、10

（3）4、5、15、16

（4）101、103、105

2、估一估。下面有3条丝带，平均每条丝带长多少厘米？

3、

师：时间最长的是谁？最短的是谁？

师：不计算，你能估计一下他们的平均时间是多少吗？

师：学生独立算后展示课件。

（57 51 48 48）÷4=51（秒）

师：学校举行遥控飞机飞行表演，要求每班代表队员的飞机平均飞行时间超过50秒。四（1）班代表队每人的遥控飞机飞行时间分别与本队的平均水平和学校的标准进行比较，你发现了什么？

4、说一说。

（1）三一班男生跳绳的平均数是每分钟90下，女生跳绳的平均数是每分钟93下。女生个个都比男生跳得多吗？

（2）池塘平均水深110厘米，小明身高145厘米，他说：我下水游泳不会有危险。他的想法对吗？为什么？

（3）小冬的爷爷70岁生日时，全家人都高兴地来祝寿。可小冬却闷闷不乐，因为他在报纸上看到，目前中国人的平均寿命为72岁。小冬想：爷爷只能再活两年了。你能劝劝他吗？

（通过估一估、算一算、猜一猜、说一说等活动，使学生领会了学习平均数的价值，深化了对平均数内涵的理解和把握。平均数区间范围的，突出了对平均数实际大小的感悟。）

这则案例中，教师通过创设情境感受平均数引入的价值是，然后通过图形让学生通过“移多补少”、“先合后分”两种模型构建，在练习的时候又借助数形结合思想，顺理成章地使学生借助数形结合思想理解平均数的数学模型。像这样充分挖掘教材中的数学思想方法，将数形结合思想巧妙地渗透在了连除问题的教学，无形中展现了数学学习的价值，其高屋建瓴的教学指向是普通教学方法无法比拟的。因此，我认为中段教学中的数形结合教学可以这样开展：

1提炼思想，挖掘教材

小学数学教材体系包括两条主线，其一是数学知识，这是写在教材上的明线；其二是数学思想方法。数学思想方法往往是隐含在数学知识当中，限于篇幅，小学教材的文字说明很有限，有些东西，虽不言明，但要求教师领悟。所以教师必须深入钻研教材，对各部分教材的编排意图和知识结构，对知识的展示方式，其中蕴含了哪些方法和规律，体现了哪种数学思想，都要仔细推敲，认真揣摩。如：二年级上册《表内乘法》这一单元的编排，24页每个图中有几个长方形？4幅图中共有几个长方形？38页摆一摆，算一算？49页把表补充完整，从表中你发现了什么规律？与同学交流和。这些例子无部说明了数形结合思想在教材编排中的重要地位。教师要善于挖掘教材的编排意图，渗透数形结合思想，真正让学生在小学中段就能运用数形结合的思想。

2运用思想，解决问题

在理解数量关系时，我们应充分挖掘由数量关系所反映出来的数形结合思想，放手让学生动手操作、猜想、画图，自觉地运用数形结合思想解决实际问题。刚开始学生不一定喜欢用这样的方法来思考问题，因为那样比较麻烦，怎样让学生学会用数形结合的思想解决问题还靠教师在日常教学中分步骤分阶段地落实。

3升华思想，培养素养

教材在五、六年级的解决问题教学中经常运用线段图来帮助学生理解和分析数量关系，但在实际操作中却发现高年级学生运用数形结合思想解决问题的意识和能力不强。如在解决六上112页：我国人均土地面积比世界人均土地面积少。世界人均土地面积约公顷，我国人均土地面积约多少公顷？这样的问题时，难以理解其中的数量关系，当建议他们用图画出题目意思时，显得比较困难，存在画图画不到点子上的问题，可见中段教学中教师就应该抓住契机引导孩子使用数形结合的方法来解决问题，反复强化、及时总结，用数形结合思想武装学生，不断升华数形结合思想，使学生真正成为数学的主人，从而培养学生的素养，为高段的学习打下基础。