全等综合（一）

 

 

知识精讲

一．全等三角形的判定方法：

边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 

角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等．

角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

 

 

二．全等三角形的应用：

1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；

2．能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

    

 

三．全等三角形辅助线的作法

1．中点类辅助线作法

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（ 是底边的中线)．

 

 

2．角平分线类辅助线作法

    有下列三种作辅助线的方式：

（1）由角平分线上的一点向角的两边作垂线；

（2）过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；

（3），这种对称的图形应用得也较为普遍．

        

 

3．截长补短类辅助线作法

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．

 

三点剖析

一．考点：

1．全等三角形的判定

2．全等三角形辅助线的作法

二．重难点：

1．全等三角形的判定

2．全等三角形辅助线的作法

三．易错点：

1．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样，对应顶点要对应．

2．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；

3．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．

 

全等与三角形综合

例题1、  如图1，已知和均为等腰直角三角形，，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）将图1中的绕点B旋转，当A，B，E三点在同一条直线上时（如图2），判断的形状并说明理由；

（2）将图1中的绕点B旋转到图3的位置时（A，B，M三点在同一条直线上），（1）中的结论是否扔成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例题2、  如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，直线a于M，直线a于N，连接PM、PN．

（1）延长MP交CN于点E（如图2），求证：；求证：．

（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时还成立吗？不必说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例题3、  把两个全等的和（其直角边长均为4）叠放在一起（如图），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角满足条件：），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系，四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=X，的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使的面积恰好等于面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．