【引言】：让人困惑的物理描述不应是对物理本质的描述，如量子力学的波粒二象性问题，二种在自然界根本就不可兼容的东西非要柔和到一起，那就肯定会让人匪夷所思；对此困惑的释解，解铃还须系铃人，这就须从波粒二象性得出的历史资料上去查找让人产生困惑的根源。

任何波的产生都来自于波源的振动，波动只是传播波源振动的一种形态，因此，研究波问题就绕不开波源振动，大自然中最简单的波源振动是简谐振动。

回顾波史，从简谐振动到简谐波动，从LC振荡到偶极振子，从电子谐振子到电子轨道跃迁，这每一步变迁无不体现了一维谐振子及其演变的身影，本系列小文正是想从一维谐振子入手，去揭开现代物理学“波粒二象性”迷雾之旅。

从一维谐振子看玻尔角动量量子化驻波解释的对与错

司今（jiewaimuyu@126.com）

7、一维谐振子与玻尔角动量量子化的驻波解释

在旧量子力学中，驻波理论是德布罗意为了解释玻尔原子理论中的角动量量子化问题而引入的理论，这个理论的本质是从一维谐振子谐振能量用振幅矢量圆来描述的思想过渡而来的，是将谐振子旋转矢量圆看做是粒子真实运动的圆，是为了维护他的实物粒子也有波粒二象性而强加进来的观点；其实，从现代物理学角度来看，驻波观点在解释玻尔角动量量子化方面并没有实质性作用，反而给人带来更多迷惑！

7.1、玻尔原子理论

为了解决卢瑟福原子行星模型与经典电磁学之间的矛盾，丹麦物理学家玻尔提出了三个假设：

（1）、电子在原子中可以在一些特定的圆轨道上运动，而不辐射光，这时原子处于稳定状态，并具有一定的能量；

（2）、电子绕原子核运动时，只有电子的角动量L等于h/2π的整数倍的那些轨道才是稳定的，即L=mvr=nh/2π，h为普朗克常数，n=1，2，3，4……，n叫做主量子数，L=mvr=nh/2π叫做量子化条件，也叫量子条件。

（3）、当电子从高能量Ei的轨道跃迁到低能量Ef的轨道上时，要发射能量为hγ的光子，即hγ=Ei﹣Ef.

在这三个假设中，假设1是经验性的，它解决了原子稳定性的问题；假设3是从普朗克量子假设引申来的，因此是合理的，它解释了氢原子线光谱的起源；至于假设2所描述的角动量量子化，原先是人为加进去的，后来知道它可以从德布罗意假设得出。

不过，值得注意的是，玻尔理论只能很好地解释只有一个电子的氢原子或一阶碱金属的光谱分布规律，但对具有多电子的原子光谱分布的解释就与实验结果存在比较大的差异，即玻尔理论就不正确了，因为玻尔理论中的粒子概念是经典粒子；对此，建立在波粒二象性基础之上的新量子力学抛弃了经典粒子概念，就可以正确地解决多电子原子光谱分布问题了；其中，新量子理论将电子轨道角动量量子化值定义为

其中l=0、1、2、3、4……（n-1），轨道角动量L成了在电子能级轨道n下可能有多个角动量轨道l离散形式的平均值，.这就与玻尔轨道角动量L=nh/2π有根本性差异了。

7.2、德布罗意驻波

德布罗意认为，电子运动也有波粒二象性，当它以半径r绕原子核作稳定的圆轨道运动时，就相当于电子波在此圆周上形成了稳定的驻波，即稳定圆周周长与电子波动波长的关系为：2πr=nλ，λ为电子在圆周上波动的波长，如图-34所示，将它代入德布罗意物质波公式λ=h/mv中，就可以得出2πrmv=nh，由此得出电子绕核运动的角动量分布公式就是：L=mvr=nh/2π；以此他认为这就是玻尔假设中电子轨道角动量量子化提出的物理本质，即认为电子之所以能够绕核稳定运动是因为电子在稳定轨道上能够形成驻波波动，并由此推理出玻尔能级轨道半径分布为rn=n²×r1，轨道能级分布是En=E1/n².

从上述描述中可以看出，德布罗意给出的电子绕核运动的驻波分布形态实质是指在一个确定的圆轨道上，电子绕核以波动形式运动的波长是λ=2πr/n，这说明电子在给定轨道上波动的波长是可以变化的，如图-33所示，电子在给定轨道半径时的波长可以变化为：

λ1=2πr，λ2=2πr/2，λ,3=2πr/3……λn=2πr/n.

而德布罗意公式λ=h/mv是由E=hγ=mv²得来的，即h=2πrmv，γ=1/T=v/2πr，λ=2πr，将它们代入hγ=mv²中可以得出λ=h/mv；但我们要明白，E=hγ=mv²本质是指电子绕核作圆周运动时，其动能即可以用E=mv²来定量描述，也可以用E=hγ来定量描述，这并不是说电子绕核运动具有波动性，而是说圆周运动动能可以用圆周运动的频率γ性来定量描述。

德布罗意将确定半径的圆轨道以驻波形式描述后，认为电子波动任意波长为λn=2πr/n，将它代入λ=h/mv就会得出nh=2πrmv，即这个轨道的角动量就可以描述为L=mvr=nh/2π，但这里就犯了一个致命的错误：电子绕核运动的角动量变化只有在电子产生椭圆运动或发生轨道跃迁时才会出现，即曲线运动半径r和动量mv都产生了变化；而德布罗意驻波描述的却是在固定半径的圆轨道上电子以波动形式运动可以产生不同的波长，这与玻尔角动量量子化假设的本意是相违背的。

玻尔角动量量子化假设是指圆轨道半径r产生变化后，其轨道动量mv也会产生相应地变化，即2πr×mv=nh=n×2πr1×mv1得v=nh/2πrm，将它代入有心力的圆运动方程mv²/r=e²/4πε0r²中就会得出rn=n²×r1.

如图-35所示，不同稳定轨道周长之间按n=n²×r1规律拓展的本意是，电子第一轨道周长是L1=2πr1，第二轨道周长就是第一轨道周长的4倍，即L2=4×2πr1，第三轨道周长就是第一轨道周长的9倍，即L3=9×2πr1……以此类推，第n轨道周长就是第一轨道周长的n²倍，即Ln=n×2πr1，n∈[1、2、3、4…….]；其实，这种轨道按n²倍式拓展与电子在稳定轨道上是否作驻波波动根本没有什么内在联系。

不过，德布罗意驻波理论使我们看到了玻尔角动量量子化的本质就是当第n轨道周长或半径是第一轨道周长或半径的n²倍时，其轨道角动量就有Ln=nh/2π的描述形式存在，也就是说，电子轨道跃迁是以周长n²倍形式跃迁的，这种跃迁下的轨道角动量变化必然是Ln=nh/2π，轨道能级变化也必然是E1=n²En.

那么，假如电子绕核运动真存在德布罗意驻波形式，那么这种运动形式是如何产生的呢？即如何给德布罗意驻波的形成找出一个物理理由？

对此，我们不妨从普朗克的电子一维谐振子理论去解读一下，如此就会得出如图-36所示的电子谐振+绕核运动的复动形态；不过，用这种一维谐振子描述的驻波，只是电子在稳定轨道上作复合式简谐振动，并不能看出电子轨道跃迁的情况。

因此说，德布罗意驻波理论是个臆猜理论，从电子谐振子角度而言，玻尔的角动量量子化与德布罗意驻波根本没有关系；不过，玻尔的电子轨道跃迁并释放光子这一解释也可以看做是绕核运动的电子与原子核之间可构成一个偶极子谐振系统做简谐振动的结果。

我们从图-35中还可以看出，玻尔电子稳定轨道周长按第一轨道周长n²倍拓展时，不具有对称；依据自然运动遵循的最基本规律——埃米·诺特对称与守恒及拉格朗日最小作用量原理，电子绕核运动的周长拓展应该呈对称性，即是以最小圆周长的2^n倍形式向外拓展的，而“电子+原子核”组成的偶极谐振子振动的周期也将以2^n倍的形式增加，如图-36所示。

由此推理，如果多电子原子核外的电子稳定轨道遵循rn=2^n×r1的拓展规律，n∈[0、1、2、3、4……]，就应该有如图-37所示的轨道对称拓展分布形式。

其实，绕体绕中心体运动轨道的周长（半径）以2^n形式拓展情况在太阳系中也存在，如图-38所示，太阳系行星轨道半径分布符合皮丢斯法则(Titius)，即rn=0.4+0.3×2^n天文单位，这正符合行星轨道周长对称性拓展的原则，这也说明，微观与宏观世界的运动规律是一样的，并不存在二套不能兼容的支配规律，也就是说微观与宏观的运动规律具有统一性。

关于太阳系为什么会遵循皮丢斯法则，我们会在《自由落体运动、圆周运动与人造卫星、行星、电子轨道能级分布刍议》一文中进行详述。

由此也可以看出，玻尔理论只能很好地解释氢原子的电子轨道跃迁问题，不能解决多电子原子电子轨道分布及跃迁问题的根源就在于他的电子核外轨道角动量规定为L=nh/2π后，其轨道周长拓展就不全具有对称性，即存在奇数轨道周长的拓展形式。

至于后来的量子力学将核外电子轨道角动量定义为

这只是遵循“可能存在”的几率概念需要而得出的一种平均值化的描述，这种描述本身就不是“真实”的东西。