双曲线成双 旋转表示来帮忙

                            付海燕

在解有关反比例函数问题时,如果可以找到这样一个合适的点,这个点往往在坐标轴上,而且有垂直于(或者平行于)坐标轴的直线过此点.可设这个点的坐标，再根据题目中的等量关系，依次得到其他点的坐标，然后根据题目需要,将坐标转化为线段的长,从而得到线段之间的关系或者某些图形的面积，为问题的解答提供方便.这种先设某点坐标，然后逐一表示其他点的坐标的方法,叫旋转表示法.这种方法在解决两条双曲线问题中的应用十分广泛.本文以下题为例，说明这种方法的应用,

题一：双曲线y=  与y=  在第一象限内的图象如图1所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接 OA，OB,则AOB的面积为(     )

A. 1    B. 2    C. 3     D. 4

分析  要求AOB的面积,根据公式，就要找到此三角形的

底和高，然后逐一求出即可.所以，巧设未知数, 并用含未知数

的代数式表示（或求出）此三角形底和高是解题的关键.若设直

线AB交x轴于点C，且c 点(a,0),如图1.点B和点A的横坐标均

为a,因为点B在双曲线y= 上,则点B的坐标为(a, ),同理,则点A的坐

标为(a, ),这样的话,AB的长度就可以表示出来,则AOB的面积可以求出了

解：设直线AB交x轴于点C,设C(a,0),则B(a, ) ，A(a, ), oc=a

 ∴AB=  -  =

∴S_AOB=·AB·OC=··a=1

故选A.

点评解决这个问题的难点就是正确找到这样的C点，并理解和应用好坐标和线段长度的关系.在解本题时，主要程序是:

找到符合要求的点C设C的坐标表示点 B,A的坐标得到相应线段的长得到三角形的面积

题二： 函数y=  和y=-在第一象限内的图象如图2，点P是y= 的图象上一动点,

PC⊥ x 轴于点 C，交y= 的图象于点 A.给出如下结论：

ODB与OCA的面积相等

PA与PB始终相等                                

四边形PAOB的面积大小不会发生变化

CA= AP

其中所有正确结论的序号是                         .

解析 结合图形,可知点C和点D都在坐标轴上，若说点C(a.0).则点P和点A的横坐标

均为a.又因为点A在双曲线y= 上，则点A的坐标为(a，)，同理，则点P的坐标为

（a，）因此，点B和点D的纵坐标均为.又因为点B在双曲线y= 上，则点B的坐标为(, )，这样的话，一些相关线段的长度就可以表示出来了，即

  OC=a，AC= ，AP=－=

  BP=a－=  ，     BD=   OD=

这样,再来判断这四个结论的正确与否就比较容易了.

对于，S_DOB=·OD·BD=··=

S_AOC=·AC·OC=··a=

故正确;

对于，若PA=PB，则有 = ，因此，a²=4.说明只有当a²=4时，才有PA=PB，故不正确;也可以这样理解，由图的直观性可知，点P至上而下运动时，PB在逐渐增大，而PA在逐渐减小,所以是错误的;

对于，S四边形PAOB=S矩形OCPD－(SOCA+SODB)=OC·OD-1=a·－1 =3.故正确;

对于，由于AC= ，AP=  ，故CA= AP,因此也是正确的.

解  .

点评 本题以反比例函数为背景,重点考查了反比例函数的图形与性质以及在反比例函数背景下的三角形、四边形的面积问题.