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类型

新授课

设计教师

一备：（毛敏月），二备：（教师姓名）

上课

课题

1.3二次函数的性质

课时

1

教材

与

学情

分析

二次函数的性质是在学生已经学了一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学其它函数知识的一次升华，又是今后学习二次函数应用，二次函数与一元二次方程的联系的预备知识。

第1课

时

教学目标

1．从具体函数的图象中认识二次函数的性质，学会确定二次函数的增减性，学会确定二次函数的最大值及最小值，学会判定二次函数的值何时为零、何时为正、何时为负．

2．培养学生用五点法画二次函数草图的能力，培养学生观察、分析、归纳、总结的能力．

3．让学生体会数形结合的数学思想，向学生渗透事物间互相联系，以及运动、变化的辩证唯物主义思想．

教学重点

难点

重点：二次函数的最大值、最小值及增减性的理解和求法．

难点：二次函数的性质的应用．

教学

准备

PPT

预设

流程

一、揭题引入

1．上节课，我们已学习了形如什么样的二次函数的图象？

2．形如y＝ax²＋bx＋c的二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标各是什么？

说明：通过这两个问题，进一步复习巩固所学的知识点，同时引出本节课要学习的问题．

二、自主探究

活动一：

1．探索填空：

(1)如图，抛物线y＝－2x²的顶点坐标是__(0，0)__，对称轴是__y轴__，在__对称轴的左__侧，即x__＜__0时，y随着x的增大而增大，在__对称轴的右__侧，即x__＞__0时，y随着x的增大而减小，当x＝__0__时，函数y最大值是__0__，当x__≠__0时，y＜0.

(2)如图，抛物线y＝2x²的顶点坐标是__(0，0)__，对称轴是__y轴__，在__对称轴的左__侧，即x≤0时，y随着x的增大而减小，在__对称轴的右__侧，即x≥0时，y随着x的增大而增大，当x＝__0__时，函数y最小值是__0__，当x__≠__0时，y＞0.

活动二：

探索二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象和性质．

(1)顶点坐标与对称轴；

(2)位置与开口方向；

(3)增减性与最值．

当a＞0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x＝－ 时，函数y有最小值 .当a＜0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当x＝－ 时，函数y有最大值 .

探索二次函数y＝ax²＋b x＋c(a≠0)的图象与x轴的交点情况．

二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：

(1)有两个交点；

(2)有一个交点；

(3)没有交点．

当二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根．

当b²－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的两个根x₁与x₂；当b²－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b²－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

活动三：

归纳总结二次函数的有关性质．

二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的有关性质见下表：

【例】对于二次函数y＝－2x²＋8x－8.

(1)说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

(2)求出此抛物线与x轴、y轴的交点坐标；

(3)结合图象回答：当x为何值时，y随着x的增大而减小．

【分析】由于a＝－2＜0，函数有最大值；抛物线与x轴、y轴的交点坐标，只需在二次函数解析式中分别令y＝0和x＝0，并求解所得的方程，即可写出相应的交点坐标，对于二次函数的增减性，可结合图象，以对称轴为分界线，进行讨论．

【解】(1)a＝－2＜0，b＝8，c＝－8，∴－＝2， ＝0.∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点(2，0)，函数最大值为0.

(2)当y＝0时，－2x²＋8x－8＝0，解得x＝2，即抛物线与x轴的交点坐标是(2，0)；当x＝0时，y＝－8，即抛物线与y轴的交点坐标是(0，－8.)

(3)图略．由图可知，当x≥2时，y随着x的增大而减小．

说明：让学生掌握用五点法来画二次函数的草图，在解题过程中让学生结合图象回答，培养学生养成运用数形结合思想来解题的习惯．

三、巩固提升

尝试完成下面各题．

1．二次函数y＝x²＋2x－5取最小值时，自变量x的值是( D )

A．2　　　B．－2　　　C．1　　　D．－1

2．抛物线y＝x²＋x＋1与坐标轴的交点个数是( B )

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

3．已知二次函数y＝ax²＋6x－1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是( D )

A．a＞－9  B．a≥－9

C．a＞9且a≠0  D．a≥－9且a≠0

4．已知抛物线y＝x²－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.

(1)求A，B，C三点的坐标．

(2)求S_ABC的值．

(3)结合图象，当x取何值时，y＞0？何值时y＜0?

解：(1)当y＝0时，x²－2x－3＝0，解得x₁＝－1，x₂＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)．

当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．

(2)S_ABC＝AB·OC＝ ×4×3＝6.

(3)当x＜－1或x＞3时，y＞0；

当－1＜x＜3时，y＜0.

四、回顾总结

1．本节课我们学习了二次函数的哪些性质？

2．如何用五点法画函数草图？

3．若二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴相交于点(x₁，0)，(x₂，0)，则图象的对称轴是直线x＝ ，为什么？

作业

设计

请完成本资料对应的课后作业部分内容．

板书

设计

1.3二次函数的性质

1.     性质                                     练习

2.     例题

教学反思

这节课的教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。