巧“旋转”巧解题

“旋转”变换是图形的基本变换之一,它可以改变图形位置.但不会改变图形中线段的长度和角的大小，所以可以应用这一性质对某些需要变换的图形进行适当的变换，从而找到解决问题的途径.那么如何应用“旋 须转”解题呢?本文结合以下几个例题加以说明

1 利用旋转构建特殊三角形

 

例1 已知正方形ABCD内有一点P，  PA:PB:PC= 1:2:3,

求∠APB的度数?

分析已知条件中三边不在同一基本图形中

故不能直接求出.而将ΔABP通过以B为旋转中

心顺时针90°得到BP'C，同时通过旋转构建

等腰直角PBP’和直角PCP’.使得已知条件

三边在构建等腰直角PBP和直角PCP'中.使

求∠APB转化为∠BP'C 。

解 设PA=1,PB=2,PC=3.

将ABP通过以B旋转中心顺时针旋转90°得到BP'C

则ΔABPΔCBP'.

∴PB = PB’ = 2 ,PP’ =  =2

AP=P'C=1, ∠APB = ∠BP'C.

∴ΔPBP’为等腰直角三角形，

∴∠BP'P=45° PP'² + P’C² =(2)²+1²=9，PC²=9

∴PP'² + P’C² =PC²

∴∠PP'C =90°

 ∴∠APB =∠BP'C 解

=∠BP'P+∠PP'C

=45°+90°=135°

2 利用旋转构建平行四边形

 

例2已知如图2,AD为ABC的中线，E为AC上一点，

连接BE交AD于F.且AE=FE,试说明BF=AC.

    分析 要证明的BF和AC不在同一基础图形,故直接证明非常难.

必须将边进行适当转化.而将ΔABC通过以D为旋转中心顺时针旋

转180°得到BGC,使四边形ABGC 为平行四边形.

从而使证明BF=AC转化为证明BF=BG

解 将ABC通过以为D旋转中心顺时针旋转180°，

得到BGC,使四边形ABNC 为平行四边形

AE = FE ∴∠1 =∠3.

四边形ABGC 为平行四边形∴∠1=∠2,AC = BG.

∠3=∠BFG,∴∠BFG=∠2,

∴BG = BF, ∴ AC = BF   

3 利用旋转构建全等三角形

例3如图3，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD,连接 DC，.以DC为边作等边ADCE，B，E在CD的同侧，若AB= a,则 BE=___

分析因BE不是直角三角形的边，故不能用勾股定理

直接计算，但可通过将BED以D为旋转中心顺时针

旋转60°得到ACD.从而可将求BE线段转化为求AC

线段的长度

解 将BED以D为旋转中心顺时针旋转60°得到ACD.

BEDΔACD

ΔABC 是等腰直角三角形,AB = a，∴AC=BC=a.

ΔBEDΔACD.则 AC = BE.

∴  BE=AC =a. 

例4 如图4，A在线段BG上，四边形ABCD和DEFG 都是正方形.

面积分别为 7cm² 和 11cm²，则CDE的面积等于多少?

分析 要求出ΔCDE的面积，已知中可直接

求出CD的长,故只须求以CD为底的高就行.

直接求高较困难，但可通过将DAG以D为旋转

中心逆时针旋转90°得到EDH，因旋转角度为90°,

则C,D,H在同一直线上,且EH⊥DH,即 EH为

CDE 以 CD 为底的高.从而使求 EH 转化为求 AG.

解 将DAG以D旋转中心逆时针旋转90°,得到EDH,则EH=AG，

旋转角度为90°∴C,D,H在同一直线上.

EH⊥DH, EH 为ΔCDE 以 CD 为底的高

∴EH=AG= ==2

∴S_CDE= ×CD×EH= .

5.例5 如图5,正方形ABCD中,AB=3,点E，F分别在BC,CD上,

且∠BAE =30°∠DAF=15°,求AEF的面积.

分析求ΔAEF的面积必须求ΔAEF的一边和

对应边上的高,而高较难求出.但可通过将ADF

以A为旋转中心顺时针旋转90°得到ABG.

结合已知条件得ΔAEFΔAEG.从而使

求AEF的面积转化为求ΔAEG的面积

解将ADF以A为旋转中心顺时针旋转90得到ΔABG.

则AF=AG，∠BAG=∠DAF=15°,

∠BAE=30°, 此时

∴∠GAE=∠BAE+∠BAC=30°+ 15°=45°

∠EAF=90°－∠BAE－∠DAF=45°,

∠EAF=∠GAE.

AEFΔAEC.

设DF=BG=x，则CF= -x，BE=1,EC= -1,

EF=CE=BG+BE=x+1.由勾股定理:EF²=CE²+CF²

得(x+1)²=( -1)²+( -x)²,解得x=2 -3，

∴SAEF=SAGE= ×GE×AB = ·(x+1) =3-

4 利用旋转构建正方形

例6 如图6,在四边形ABCD 中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°

DE⊥AB于E,若四边形ABCD的面积为16，

则DE的长为多少?

分析已知四边形ABCD为不规则图形，

通过分割成若干个基础图形虽可以计算，但这种方法

较为复杂，计算量大但将ADE以D为旋转中心逆时针

旋转90得到DCF，从而构建出正方形DEBF，

即所求的DE 为正方形DEBF 的边长.

解 将ΔADE以D为旋转中心逆时针旋转90°得到ΔDCF,

则AEDCFD,即DE=DF, ∠ADE=∠CDF. ∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB于E,

∠EDF=∠EDC+∠CDF

=∠EDC+∠ADE

=∠ADC=90°.

∴∠ABC=∠EDF=∠DEB=90°即四边形DEBF为矩形

DE=DF，∴四边形DEBF 为正方形. ∴DE= =4.

综上所述,在解几何类题目时,当已知条件中的“角”“边”关系较为分散时，即不在同一基础图形中,此时可利用旋转将较为分散的条件转化到同一基础图形(如正三角形,直角三角形,正方形等)中去,从而使“角”“边”位置关系得以转化，使问题得以简单化

一般步骤可分为:

(1)确定要旋转的图形和旋转中心.

(2)确定旋转的角度:一般30°60°90°180°等和旋转方向，以便构造新的基础图形.如正三角形,直角三角形，正方形等等.