试   题   研  究（1备）

---- 一副三角板巧遇平行

三角板大家都很熟悉，而且每位学生手中几乎都有一副三角板，命题者也经常盯着这副三角板挖空心思编制了形形式式的三角板问题。一副三角板是由一个锐角为30 °的直角三角板，另一个是45度的等腰直角三角板构成，也就是说一副三角板已经提供了30度、45度、60度、90度的已知角，再加上平行线的性质可以得到同位角、内错角相等、同旁内角互补的不同位置间角的数量关系来求出一些未知角的大小。这类问题多姿多彩，形式优美，已经成为各类考试的热点题型，学习时应注意关注。下面就来探究一套三角板与平行线的相关问题。

1．一副三角板按如图放置，下列结论：∠1=∠3；若BCAD，则∠4=∠3；若∠2=15°，必有∠4=2∠D；若∠2=30°，则有ACDE， 其中正确的有_____.

 

【答案】

【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断；根据平行线的性质判断；根据三角形的外角性质计算判断；平行线的判定定理判断．

【详解】解：

由题意可知∠CAB=∠EAD=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，

∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，故正确；

若BCAD，

∠3与∠4既不是同位角，也不是内错角，无法证明∠4=∠3，故错误；

若∠2=15°，

∴∠EFB=∠2+∠E=15°+60°=75°，

∴∠4=180°﹣∠EFB﹣∠B=180°﹣75°﹣45°=60°，

∠D=30°，

∴∠4=2∠D，故正确；

若∠2=30°，则∠1=∠3=90°﹣30°=60°，

∴∠CAD=∠1+∠2+∠3=150°，

∠CAD+∠D=150°+30°=180°，

∴ACDE（同旁内角互补，两直线平行）.故正确.

故答案为.

2．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺 固定不动，将含30°的三角尺 绕顶点 顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当 时， ．则 其余符合条件的度数为______．

 

【答案】60°或105°或135°

【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．

【详解】解：如图2，当BCDE时，∠CAE=45°-30°=15°；

 

如图，当AEBC时，∠CAE=90°-30°=60°；

 

如图，当DEAB（或ADBC）时，∠CAE=45°+60°=105°；

 

如图，当DEAC时，∠CAE=45°+90°=135°．

 

综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°．

故答案为：60°或105°或135°．

3．在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．

    

【答案】6或9或15或33

【分析】

分五种情形分别构建方程即可解决问题．

【详解】

解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，

当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，

则运动时间为t= (秒)；

当PACD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，

 

∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，

解得：t =6(秒)；

当PDAB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，

 

∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，

解得：t =9(秒)；

当CDAB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，

 

∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，

解得：t =15(秒)；

当CPAB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，

 

∴∠D=∠BPD=30°，

∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，

∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，

解得：t =33(秒)；

当CDPA时，则∠D=∠APD=30°，

 

∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，

解得：t =42>40，不符合题意；

综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．

故答案为：6或9或15或33．

三角板经过旋转产生两边平行，从而得出同位角相等；两边平行，内错角相等；两边平行，同旁内角互补。其实以上题目都是一回事，一个类型，在几何运动变换中蕴藏着很多不变的结论。

试  题  研  究（2备）

---- 一副三角板巧遇平行

三角板大家都很熟悉，而且每位学生手中几乎都有一副三角板，命题者也经常盯着这副三角板挖空心思编制了形形式式的三角板问题。一副三角板是由一个锐角为30 °的直角三角板，另一个是45度的等腰直角三角板构成，也就是说一副三角板已经提供了30度、45度、60度、90度的已知角，再加上平行线的性质可以得到同位角、内错角相等、同旁内角互补的不同位置间角的数量关系来求出一些未知角的大小。这类问题多姿多彩，形式优美，已经成为各类考试的热点题型，学习时应注意关注。下面就来探究一套三角板与平行线的相关问题。

1．一副三角板按如图放置，下列结论：∠1=∠3；若BCAD，则∠4=∠3；若∠2=15°，必有∠4=2∠D；若∠2=30°，则有ACDE， 其中正确的有_____.

【答案】

【分析】根据余角的概念和同角的余角相等判断；根据平行线的性质判断；根据三角形的外角性质计算判断；平行线的判定定理判断．

【详解】解：

由题意可知∠CAB=∠EAD=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，

∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，故正确；

若BCAD，

∠3与∠4既不是同位角，也不是内错角，无法证明∠4=∠3，故错误；

若∠2=15°，

∴∠EFB=∠2+∠E=15°+60°=75°，

∴∠4=180°﹣∠EFB﹣∠B=180°﹣75°﹣45°=60°，

∠D=30°，

∴∠4=2∠D，故正确；

若∠2=30°，则∠1=∠3=90°﹣30°=60°，

∴∠CAD=∠1+∠2+∠3=150°，

∠CAD+∠D=150°+30°=180°，

∴ACDE（同旁内角互补，两直线平行）.故正确.

故答案为.

2.如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．

（1）当α为______度时，ADBC，并在图3中画出相应的图形；

（2）当ADE 的一边与ABC的某一边平行（不共线）时，写出旋转角 α的所有可能的度数；

（3）当0°＜α＜45°时，连结BD，利用图4探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况，并给出你的证明．

【分析】（1）根据ADBC，再根据三角板的度数即可求出α的度数；

（2）要分5种情况进行讨论，分别画出图形，再分别计算出度数即可；

（3）先设BD分别交AC、AE于点M、N，在AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180，再根据∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC，得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，然后根据∠C＝30°，∠E＝45°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数．

【解答】（1）ADBC，∴∠FGC＝∠D＝90°，

∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CFG＝60°，∴∠DAF＝30°，

∠DAE＝45°，∴∠CAE＝15°，∴当α为 15度时，ADBC；

故答案为：15；

（2）当ADE的一边与ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；

（3）当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°，保持不变；

理由如下：

设BD分别交AC、AE于点M、N，

在AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180，

∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC，

∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，

∠C＝30°，∠E＝45°，

∴∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°

3．在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．

    

【答案】6或9或15或33

【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．

【详解】

解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，

当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，

则运动时间为t= (秒)；

当PACD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，

∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，

解得：t =6(秒)；

当PDAB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，

∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，

解得：t =9(秒)；

当CDAB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，

∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，

解得：t =15(秒)；

当CPAB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，

∴∠D=∠BPD=30°，

∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，

∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，

解得：t =33(秒)；

当CDPA时，则∠D=∠APD=30°，

∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，

解得：t =42>40，不符合题意；

综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．

故答案为：6或9或15或33．

 

三角板经过旋转产生两边平行，从而得出同位角相等；两边平行，内错角相等；两边平行，同旁内角互补。其实以上题目都是一回事，一个类型，在几何运动变换中蕴藏着很多不变的结论。