试题研究：一题多变  触类旁通

 

（原题展示）原浙教版八下课本第147页作业题第3题

如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。

求证：BG=CE

 

变式一：条件不变、增加探究结论

（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。

（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？

 

 

 

变式二：图形旋转，探究原结论

（4）正方形AEDB绕点A逆时针方向旋转，使AE与AG重合时，如图（1）上述两个结论是否成立？

（5）继续旋转到如图（2）位置，上述两个结论是否成立？

 

变式三：图形旋转，探究新结论

（6）如图（2），连结DF，求CE:BG:DF的值.

 

 

变式四：添加条件，探索新结论

如图，AB＝11，AC＝7，连结EG，求的值

 

变式五：改变图形，探究原结论

把“正方形AEDB和正方形ACFG”改为“矩形AEDB、ACFG（长宽不等）”且 ， 线段CE、BG有怎样的关系呢？

 

 

变式六：改变图形，挖掘内在联系

如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结CD、BE。

（1）求证：BE=DC

（2）求直线CD与直线BE的所夹锐角

 

 

 

 

变式七：根据结论，探究条件

如图，在ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,ACE,BCF

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题                                                   

当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？

当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？

当ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在？

 

 

变式八：改变图形，冲击中考题

（义乌市中考题）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

 

 

 

 

 

 

                                                             

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a b，k 0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

（3）在第(2)题图5中，连结 、 ，且a=3，b=2，k= ，求 的值．

 

 

 

变式九：改变图形，掌握中考题

 (2013 年山东潍坊)如图 Z10-4，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α.

(1)当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角α的值；

(2)如图 Z10-5，G 为 BC 中点，且0°＜α＜90°， 求证：GD′＝E′D；

(3)小长方形 CEFD 绕点C 按顺时针旋转一周的过程中，DCD′与CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．

         

3.（广东佛山市中考题）如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.

(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.

 

 

变式十：根据图形或变式图形求面积

（1）如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11则CDE的面积等于           .

(2)如图，分别以RtABC的三边向形外作正方形ABGH、BCEF、ACDI，若直角边BC=1，AC=2，则六边形DEFGHI的面积是             .

(3)如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

Ａ．4            Ｂ．6               Ｃ．16             Ｄ．55

(4)在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝       .

(5)如图，梯形ABCD中，ABDC， ∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是         .

变式十二：图形改变，探究定点定值问题

如图，已知C为定线段AB外一动点，分别以AB、BC为边在ABC外作正方形CADF和CBEG，求证：不论点C的位置在AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点。