1.3 解直角三角形（1）

学习目标

1．经历运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决在直角三角形中， 由已知的一些边、角，求出另一些边角的问题的过程．了解解直角三角形的概念．

2．会运用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形，以及解决与直角三角形有关的简单实际问题．

重点与难点

本节教学的重点是运用三角函数解直角三角形的方法．

解直角三角形的过程中，由已知条件求某条边或某个角的方法，以及求这些边、角的顺序往往不唯一，如何让学生学会选择较优的方法和求解顺序，是本节教学的难点．

学习过程

在RtABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，a＝1，你能说出其他的边、角么？

解：∠B＝60°，b＝ ，c＝2．

【概念】在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形．

引入的目的是为了跟学生说明解直角三角形的结果，并且让学生了解到，只知道角的度数是不能够解直角三角形的，必须要有边的参与．

【例1】如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度BC为10m，坡屋顶的设计高度AD为3.5m，请求斜面钢条AB的长度和坡角的度数．（长度精确到0.1m，角度精确到1°）

解：由题意得AB＝AC，AD⊥BC，

则BD＝ BC＝ ×10＝5m．

在RtABD中，

AB＝＝ ≈6.1（m）

tanB＝ ＝＝0.7，则∠B≈35°．

答：斜面钢条的长度约为6.1米，坡角约为35度．

此例说明现实生活中遇到的在直角三角形中有已知一些边、角求另一些边、角的问题．为叙述方便，课本给出了“解直角三角形”的名称，学生只需了解即可，不需要背、记概念，讲解例1时，要把重点放在如何求坡角的思路上，先求出此坡角的正切值，然后用计算器求出∠α的度数．

【例2】如图，在RtACB中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝3．求∠B和a，b（边长精确到0.1）．

解：在RtACB中，∠B＝90°－50°＝40°．

sinA＝ ，

∴a＝AB×sinA＝3×sin50°≈2.3．

cosA＝ ，

∴b＝AB×cosA＝3×cos50°≈1.9．

【归纳】解直角三角形，已知元素可分为下面两种情况：

1．已知两条边；

2．已知一条边和一个锐角（或锐角的某个三角函数）．

例2是解直角三角形的解题过程示范，进一步巩固锐角三角函数的知识，要注意引导学生分析已知条件，选择合适的求角和边的方法，教学时可先让学生，自主选择求∠B和a，b的方法，然后进行，交流比较．

（1）求∠B可以按课本的方法根据直角三角形的两个锐角互余求的，也可以再求出边长a，b后通过计算∠B的正切值，在用计算器求角得到．不过后者求解过程比较复杂，并且得到的是近似值，因此，若已知一角，根据“直角三角形的两锐角互余”的方法求另一个角比较合理．

（2）在求边长实学用不需要除法运算的三角函数比较便捷 ．

（3）求边长b也可以由b＝atanB求得，但a是刚求得的近似值，用近似值代入计算不仅增加了计算量，还可能影响结果的准确性，所以该方法也不如课本中给出的解法．

如上注意点，应在讲解例题的基础上，引导学生在归纳小结，同时培养学生养成解体后反思总结的习惯，提高解决问题的能力．

【课内练习】在RtABC中，∠C＝Rt∠，a＝5，∠B＝54°33'．求∠A和b，c（边长精确到0.1）．

解：∠A＝35°27，b≈7.0，c≈8.6．

【课内练习】在RtABC中，a，b，c分别是∠A，∠B和∠C的对边，∠C＝Rt∠，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到1°）．

（1）c＝10，∠A＝30°．

（2）b＝4，∠B＝72°．

（3）a＝5，c＝7．

（4）a＝20，sinA＝ ．

解：（1）∠B＝60°，b≈8.7，a＝5．

（2）∠A＝18°，a≈1.3，c≈4.2．

（3）b≈4.9，∠A≈46°，∠B≈44°．

（4）∠A＝30°，∠B＝60°，b≈35，c＝40．

某学校教学楼后面紧挨着一个土坡，坡上面是一块平地．BCAD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD＝68°．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．

（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）；

（2）为了确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到点F处，问BF至少是多少米（精确到0.1m）？

解：（1）在RtABE中，

sin∠BAE＝ ，

∴BE＝AB×sin∠BAE＝22·sin68°≈20.4（m）．

（2）作FG⊥AD于点G，连结FA，则FG＝BE．

在RtABE中，

cos∠BAE＝ ，

∴AE＝AB×cos∠BAE＝22×cos68°≈8.24（m）．

在RtAFG中，

tan∠FAG＝ ，

∴AG＝ ＝＝≈17.12（m）．

∴BF＝AG－AE＝17.12－8.24＝8.88≈8.9（m）．

即BF至少是8.9米．