3.4乘法公式(1)

 

一、教学内容分析

本章是初中数学整式的乘法最重要的一节， 《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、整式的加减及乘法等知识的基础上，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、二次根式中的分母有理化、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.

基于教学内容的地位作用，本节课的教学重点确定为：

    1、经历探索平方差公式的全过程，掌握公式的结构特征；

2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算.

二、教学目标设计

1、通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用；

2、引导学生理解平方差公式的意义，从平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、猜想、归纳的探究技能和逻辑推理能力；

3、掌握公式的结构特征，并在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想.

三、学生学情分析

学生在七年级已经学习了积的乘方和整式，但在进行积的乘方的运算时，底数是数与几个字母的积时，往往把括号漏掉，对于符号的问题，也相对混乱。而本节的难点就在于，如何正确找出符合“两数和及两数差”的前提条件，所以，我通过生活的故事引入课题，既新颖又为新知埋下伏笔，不仅在课前可以吸引学生的注意力，更可激发学生学习数学的兴趣和热情，为新课的讲解打开篇章.

在之前学生已掌握多项式乘以多项式的方法，但是不否认学生对字母表示数及字母广泛含义的理解的水平存在个体差异，所以学生学习平方差公式的困难就在于对公式的结构特征的理解和掌握.因此本节课的难点为：平方差公式推导的理解及对公式的灵活应用.

四、教学策略分析

    策略1：在“创设情境，引入新课”这一环节，引导学生类比多项式乘法的计算，引出本节的学习内容，学生通过小组讨论、交流，对所得出的结果进行总结归纳，并引导学生用数学语言描述.在学生猜想平方差公示的同时培养学生探究技能和逻辑推理能力；

    策略2：在“数形结合、几何说理”这一环节，使学生直观地经历图形的变化过程，从数形结合的角度加深对公式的理解. 

    策略3：“分层递进”教学策略，为了帮助学生对公式的理解及灵活的运用，也为突破教学难点，遵循循序渐进教学设计原则，在运用公式环节设计了“填一填”、“判一判”、“改一改”、“用一用”四个步骤，在充分利用教材的基础上，做适当处理，突出本节的重难点.

五、教学过程设计

（一）创设情境、快乐启航

活动一：提出问题：103×97怎么算最快？

【设计意图】把所学知识融入到新知识中，不但激发了学生的兴趣，也为平方差公式的推导奠定基础.

（二）自主探索、获取新知

 问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题.再观察、分析这组题目的左边算式和右边的结果，你能

        从中发现什么规律吗？

    (1)           

    (2)

    (3)             

    (4)

 问题2：通过上面的计算，你发现了什么？

 追问1：第(3)(4)小题在形式和结果上与(1)(2)小题有什么区别？

 追问2：观察第(3)(4)小题左边的算式和右边的结果又什么规律?

 发现：左边是相同两个数字的和以及差，右边是这两个数的平方差（找相同两数和互为相反数的两数）

     归纳公式：

文字叙述：两个数的和与这两个数的差等于这两个数的平方差.

【设计意图】以一组既有关联又有区别的问题为载体，让学生通过它们的共性，发现规律、猜想公式，从

            而经历从特殊到一般、具体到抽象的过程体会归纳的数学思想.

（三）公式应用，揭示本质

      （1）             （2）

      （3）                （4）

【设计意图】进一步揭示公式的结构特征，使学生理解公式，进一步达到灵活应用公式的目的，既体现了学生学习的主动性，为学生学习公式进行指导，可谓“一箭双雕”.

（四）数形结合、几何说理

 问题4：你现在知道张老汉是否吃亏了吗？吃亏了多少？

 追问：如果将张老汉所租的边长为a的正方形土地的一边减少b米，相邻一边增加b米，那么面积变为

       多少？同原来的土地面积相比，发生了怎么样的变化？（如图所示）

                

 

   

 它说明了公式：

【设计意图】使学生直观地经历图形的变化过程，从数形结合的角度加深对公式的理解.

（五）慧眼识珠，新知运用

  1、填一填.

   (1)                              

   (2)                           

   (3)                        

   (4)                            

2、判断对错，如有错，请改正.

(1)                   (2)

(3)                   (4)

(5)

【设计意图】让学生进一步熟练新知，并对易错题进行防御，达到巩固，防微杜渐的双重效果.

（六）巩固提升，大显身手

  1、例题分析

   (1)                         (2)

  2、计算

   (1)                     (2)

【设计意图】通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的快捷.

（七）小结梳理，布置作业

  1、本节课你学到了哪些数学知识？

  2、平方差公式的结构特征是什么？

  3、本节课你感悟到哪些数学思想方法？

 

【课后反思】

 

 3.4乘法公式(1)（定稿）

教学目标：

1．经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.

2．通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.

3．了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.

教学重点与难点：

重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．

难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．

教法及学法指导：

有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆，我以问题为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，指导学生深刻思考，细心观察，在解题时，一切从习题特点出发，根据习题特点寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准a、b．

课前准备：多媒体课件，一张正方形纸板，剪刀．

教学过程:

一、速算王的绝招

师：在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：

1．       2.

主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991。”其速度之快，简直就是脱口而出。同学们，你知道他是如何计算的吗？

（学生讨论，部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理，仍有部分学生很困惑．）

师：这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明，能够迅速得到结果，我们开始今天的学习吧．

【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】

设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。

二、一起来热身

师：为了更好地解决本节课的内容，大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容，哪个同学来回答？

生1：平方差公式： ．

生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．

生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差.

师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况.

（多媒体出示习题）

利用平方差公式计算：

（1） ；  （2） ；

（3） ；      （4） ．

（学生独立做题，师巡视.）

【答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．】

师：在运用平方差公式时要注意什么？

生：1．字母a、b可以是数，也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号．

设计意图：通过习题训练功过上节课所学知识，为下面教学的展开做好铺垫．

三、数学是什么

师：有人说，数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义！请问数学真的没有什么实际意义吗？ 请看下面的问题：

师：请表示右图中阴影部分的面积.

生：a²－b²．

师：你能将将阴影部分通过裁剪拼成一个长方形吗？如果能这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？

（学生动手操作，教师巡视指导，指定同学演示）

生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，上面的大长方形宽是(a－b)，长是a；下面的小长方形长是(a－b)，宽是b．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b)，我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分），它的长和宽分别为(a+b)、(a－b)．

师：比较前两问的结果，你有什么发现?

（学生思考交流）

生：这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a²－b²．

生：通过裁剪拼凑我们验证了上节课所学的平方差公式：(a+b)、(a－b)= a²－b²．

生：用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证．

师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用．

设计意图：设计几何解释，目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系，是看得见摸得着的，纠正 “数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际的意义。”这样的偏见。

问题解决

幸福住宅小区的花园，起初被设计为边长为 米的正方形，后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移2.5米. 试问修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？

（学生画图解答问题）

解：如图（1），原花园的面积.

   

（1）                   （2）

修改后的花园如图（2）所示，其面积

.

所以，(m²).

答：修改后的花园面积比修改前少了6.25平方米.

设计意图：设计问题解决的目的，一是培养学生的问题解决能力；二是使学生知道，学了数学公式，可以用来解决实际问题，从而体会到数学的应用价值，并构建起正确的数学观．

三、速算王的秘密

师：平方差公式和速算王的技巧到底有什么关系呢，我们来看下面一组题目．

（课件展示）

想一想：

(1)迅速计算下列各组算式，并观察它们的特点．

           

(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？

(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？

(1)中算式算出来的结果如下：

          

生：从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1．

师：是不是所有的自然数都有这个特点呢？

学生再举例说明结论的正确性．

师：你能用字母表示这一规律吗？

生：设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a²－1．

师：用上节课的平方差公式也能验证．这里的a只能是一个自然数吗？

(同学们交流讨论)

生：a可以是任意数．

师：很好！下面运用你得到的结论来计算．(出示课件)

例3  用平方差公式进行计算：

（1）102×98；（2）118×122．

（学生黑板板书）

解：102=100+2，98=100－2， ∴102×98 =（100+2）（100-2） =1002-22 =9996．

解：118=120－2，122=120+2． 118×122 =(120－2)(120+2) =1202－4 =14400－4 =14396．

设计意图：呼应“速算王的‘绝招’”这一部分，解答学生心中的疑惑，弥合学生心中的“缺口”，让他们体会到平方差公式的威力．

四、意犹未尽

师：如果把本节课所学的知识与以前的知识融合一下大家还能解决吗？

例4  计算：

（1）a²(a+b)(a-b)+a²b²；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)．

师生共同分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简．

（学生黑板板书）

解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2 =a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4．

解：(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x)2－52－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x-25．

教师强调：2x(2x-3)的结果要用括号括起来.

设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．

随堂练习

计算：（1）704×696；     （2）9.8×10.2；（课堂引例）

（3） ；   （4） ．

(学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，同桌互查互纠．)

设计意图：习题的设置是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力．

五、画龙点睛

师：同学们，这节课你有哪些体会和收获？

生1：我能用拼图对平方差公式进行几何解释．也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面．

生2：平方差公式中的字母和 却可以变脸！可以是其它字母，可以是正数，也可以是负数；可以是单项式，也可以多项式.而且数的运算也能恰当地用了平方差公式．

生3：在进行某些乘法运算时，利用平方差公式，可以进行简便、快速运算.

生４：我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方．例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b)，算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了．

师：大家说的很好，以后在学习过程中要善于总结问题，积累知识．

设计意图：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的．

六、牛刀小试

计算：

（1）2013×2015－2014²；

（2）(3mn+1)(3mn－1)－8m²n²；

（3） － (x+8)．

设计意图：通过检测及时获知学生对所学知识掌握情况，，及时反馈，查漏补缺．

七、课后促学

必做题：作业本3.4乘法公式(1)．

选做题：（1）(x+y)²－(x－y)² ；       （2）25²－24²．

设计意图：分层布置作业，使不同层次的学生都有事可做，心中都有成就感，同时也能调动学生的学习积极性和主动性，相信自己也能完成选做题，培养学生不甘落后的上进意识.

板书设计：

3.4乘法公式(1)
平方差公式的推导	例3     例4

教学反思：

成功之处：通过本节课的学习，我做到以下几点：让学生理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性. 这也是数学公式的本质；培养“以数的眼光看式子的整体观念”的数学素养；培养学生的问题解决能力和数学探究能力；纠正片面观点：“数学只是一些枯燥的公式、规定，没有什么实际意义！学了数学没有用！”

不足之处：回顾这一节课，有两点不足，一是学生参与不够；二是教师急于求成．学生参与不足是因为整个活动的操作环节过于匆忙急于完成教学任务，进而导致学生探索的效果不理想，当我看到学生说不出来时，急于求成，就替学生完成了有难度的活动．难度大的问题都让教师解决了，学生的锻炼机会就没有了，也就失去设计探索活动的意义了．

再教建议：解决这两点不足，我觉得首先在备课之初，就要考虑选择的探索活动对于学生而言，难度是否适中，如果太难了，必然影响教学效果．另一个就是课前准备充分，如果教师能够组织学生准备一些教具，这样学生就能参与进来，有了更加直接的感性认识，探索活动的效果必然会好些，教学目标“过程与方法”才能有效的落实．