小学生模型思想建立的研究

王文妮

 《义务教育课程标准》在“前言”中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径、建立和求解模型可以提高学习数学的兴趣和应用意识。”由此可见，模型思想是数学教学必须渗透的思想方法之一，而且与传统数学不同的是，新课改下的数学建模过程必须要有学生的主体参与，也就是说它是在学生自主理解、建构基础上的模型，而不是生硬地塞给学生的公式、法则等。让学生在小学阶段积累一定的数学模型思想，并逐步体会数学建模过程是数学教学的核心目标之一，是学生数学素养形成的重要体现。

数学建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程就是数学建模。在小学数学教学实践中培养学生建立模型思想，培养学生的推理能力，要做好以下两点：

1、要转变教学理念，在教学中注意两个“问题”： 第一个是从纷杂的实际问题中，筛选出有用信息，从而抽象成数学问题，也就是发现问题，提出问题，这是“数学建模”的起点；第二个是根据已提出的问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并解决问题，必要时回顾反思解决问题的过程。也就是要分析数学问题，建立数学模型，这是“建立模型思想”的核心。小学生解决问题的过程，实质上就是建立模型思想，培养推理能力。例如在一节《相遇问题》名师课堂教学实录中，教师既重视了“解决问题”：从学生的生活实际出发，创设与学生的日常生活紧密联系的上学情境，且采用动画形式呈现，学生在现实而有趣的、富有挑战性的问题情境的吸引下，主动发现问题、提出问题，进而提炼生成完整的数学问题，帮助学生顺利完成解决问题的第一个转化。同时也重视了“解决问题”：即放手让学生自主整理信息——理清数量关系；借助直观图形——探明解题思路；明确解题方法，独立列式解答——自主建构应用问题的数学模型，帮助学生顺利完成解决问题。这样，由于扎实完成了学生建模思想，让学生有效地经历了“解决问题”的全过程，从而提高了学生解决问题的能力，发展了学生的推理能力。

2、要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行应用的过程，获得对数学核心概念的理解。从一些名师教学实录中可以看到，使学生构建模型的基本思路是：①创设问题情境，发现提出问题——建立模型准备；②自主整理信息，探究解决问题——建立数学模型；③解释应用拓展，体验数学价值——应用数学模型。

一、“磨——模——魔”的体系

所谓“磨”，就是教师教学之前要先行琢磨：什么是模型？什么是模型思想？怎样建立模型？等一系列与之相关的理论。明确之后，老师们在数学课堂上的数学知识概念、命题、问题和方法等方面均逐步渗透“数学模型”。眼界决定境界，一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他教学的深刻性和数学课堂的品质。

 所谓“模”，即“建模”。也就是在数学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。

 通过教研组老师们的共同交流，我们感觉到：运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生模型意识的培养和建模方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行模型及模型意识的渗透、点化。高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中模型的存在，培养初步的建模能力。

 所谓“魔”，即“着魔”。也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。数学教学的终极目标应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生的作用，使人终身受益。

 要让学生能充分感受到数学模型所产生的“魔力”。实际教学中，要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如：在二年级数学“确定位置时，设定观察的规则（观察顺序）非常重要——从左向右数是第几排、从前往后数是第几列、从下往上数是第几层……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线（右箭头，坐标系中是“横轴”原型）和“纵向带箭头的直线”（向上箭头，坐标系中的“纵轴”原型），既将观察顺序形象表达，又蕴含了二维坐标（第一象限）的基本原理。如果学生在独立练习中也能模仿着使用，那感受会更加深刻。而在六年级形学习“确定位置”（用方向、角度、距离来确定平面图形任意一个位置）时，如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图，然后再确定位置。那学生的观察不仅变得有序，而且准确性很好。在此基础上，老师要对学生进行建模、用模的学习水平进行适当评价和鼓励，教学的境界就会大大提升。这种从“原生态”开始，经历更高层次“数学化”的过程，实现了“形式的”数学知识向现实生活的“复归”。其核心都是让学生从“模型”和“建模”的角度来亲近数学。站在“高点”再回望探究之旅，学生对数学的认识就更加深入了，由此而产生的“魔力”，将深刻而持久地影响着他们的数学学习生活。

总的说来，在数学课堂上，我们教的是数学，面对的是学生，“磨”侧重于教师对数学本身的理解；“魔”则是要求坚持学生立场，读懂学生、引领学生、发展学生；“模”指向教学过程，是在数学和学生之间真正搭起一座有意义的数学学习之桥。三者有机统一，互动交融，就会缔造出小学数学建模教学的至高境界。

小学生建立数学模型必须从实际生活原型或提供的实际背景出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、概括等思维方式，去掉非本质的东西，用数学语言或数学符号表述出数学模型，再运用数学模型解决一些实际问题。教师在这一阶段，应充分发挥自身的指导作用，并给予学生充分的时间，自主交流、合作探究。同时应让学生明确建立数学模型的目的是为了更好的描述自然现象和社会现象，从而帮助人们更好地认识和改造我们的生活。只有通过对所有建立的数学模型进行合理的解释、应用，才能使其具有强大的生命力。其基本步骤是：（1）创设问题情境；（2）观察、比较、分析、抽象、概括；（3）解释、应用。

我校上学期进行了“磨课”活动，具体操作流程为“三备三磨”。一备：由磨课老师写出教案、做好课件，在教研组内就本节课的设计进行说课。一磨：课后，教研组就上课情况进行第一次研讨；二备：磨课教师根据组内建议，进行教学设计的修改。二磨：教研组内就上课情况进行第二次研讨。三备：磨课教师根据组内建议，进行二次修改和调整。三磨：上课结束后教研组内就上课情况进行第三次研讨。我们高数组的史威老师经历了磨课打造的全过程，她课堂教学的具体策略是：

（一）借助生活事例——张叔叔要给王阿姨送资料导入新课，运用模拟表演策略帮助学生理解“数学问题”。一是借助动画情景，引导学生初次感知两个物体的运动，从直观的角度感知“相遇问题”的特征；并借助学生的观察和描述，了解学生对“相遇问题”已有经验和认知基础，寻找到了新知学习的切入点和生长点。二是采用模拟表演、打手势等直观生动的演示方式描述王明和李华的运动过程，一方面激发学生的数学学习兴趣，吸引学生积极主动地投入到探究学习活动中来；另一方面让学生了解数学问题的实际背景，帮助学生在具体情境中直观形象地理解“两个物体”、“两个地方”、“同时出发”、“相对而行”、“结果相遇”等关键词的含义，逐步提炼形成相遇问题。进而掌握相遇问题的基本结构特征。在初步理解相遇问题基本特征的基础上，添加相应的数学信息，提炼生成完整的数学问题，帮助学生把“生活问题”转化为“数学问题”。

（二）结合具体情境，运用列表格、画线段图等策略引导学生在理解的基础上构建数学模型。在教学中结合具体情境，史老师放手让学生用自己喜欢的方法对情景中的信息加以梳理，将抽象难懂的文本信息转化为形象易懂的图表信息，帮助学生直观地理清信息之间的关系；并对各种解题策略进行分析与比较，突出了画线段图整理信息的优越性。在理解的基础上，让学生通过自己的探索，从而获得了相遇问题的解题方法。最后通过多媒体的演示，又加深了对相遇问题两种解题方法的理解。从而引领学生提炼出相遇模型背后所蕴含着的结构性知识，并构建起这类问题的解题模型——“速度和×时间=总路程”。

（三）在解决问题的过程中，让学生通过“自主整理——组内交流——展示汇报——分析比较——提炼升华”等一系列活动，获得了解决问题的策略，积累了解决问题的经验，增强了学生的数学应用意识及解决简单实际问题的能力。史老师通过知识、技能和方法的迁移,突破了固定的思维框架,形成了自己的认知结构，并充分体现了知识与能力素质的培养过程。

二、“问题情境——建立模型——运用验证”的过程

数学模型通常是指将现实对象进行抽象所建立的某种特定的数量关系（数学概念、数学公式、逻辑准则或算法等）。无疑，数学模型的学习要经历一个建立模型和理解、应用模型的全过程。建立数学模型首先要对现实对象进行抽象概括，其基点是将现实对象镶嵌在恰当的问题情境中，理解应用数学模型的关键是应用模型解释和解决现实问题。

 “问题情境——建立模型——运用验证”的过程，就是创设一个学生喜闻乐见的问题情境，引导学生通过观察、实践、探索、思考、交流等活动初步建立这一问题的数学模型，然后运用这一模型去解释一些现象、解决一些问题。通过这一过程，有助于学生主动建立自己的认知结构，掌握基本的数学知识和技能，获得数学活动经验，感悟数学思想方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学思考的乐趣，增进学好数学的信心。

 在平日的课堂教学中，我们小组的成员们主要从以下几点进行尝试：

首先，创设有效解决问题的情境

从学生已有的知识经验和生活经验出发，利用多种形式积极创设生动有趣、目标明确、富有挑战性的问题情境。在探索解决问题的过程中，感受新知识产生的背景，理解新知识引入的必要性及作用，激发学生主动参与数学活动的积极性，使学生的数学学习更为生动有效。

接着，在解决问题的过程中帮助学生建立数学模型。

数学教学的过程实质是在解决问题这个主线的引导下，让学生经历问题解决的探究过程，在此过程中建立自己的认知结构、感悟解决问题的策略，从而有效的构建解决问题的数学模型，再运用获得的知识、方法分析解决数学问题。同时，培养学生的抽象、概括及创新能力。因此，在学生探索解决问题的过程中，教师要有建模化的思想，使学生感受、理解、掌握数学知识的本质，形成数学模型以解决现实问题。

再者，在解决问题的过程中让学生感受解决问题策略的多样化。

老师们经常倡导、鼓励学生采用创新的思路来分析、解决问题。拓展学生思维，让学生从多角度分析问题，在解决问题的过程中形成策略，使学生感受到最优化的解决问题的方法。

同时，问题呈现应体现应用化，发展学生的数学应用意识与能力。

我们从重视提出问题的层次性、针对性、开放性、挑战性和应用性着手，使学生在数学模型的建构中，理解数学模型的价值与作用，从而对模型能够进行解释和应用，发展学生的创新能力，培养学生用数学的思维来观察世界和解决问题的能力。

在《分橘子——按比例分配》的案例中，王文妮老师创设了“一筐橘子，怎样分？”这一情境，通过“创设问题情境——建立按比例分配模型——解释与应用”三部教学过程，有目的地唤起学生对已建立的除法模型的回忆，强化了对除法的认识，而有按比例分配正是在学生掌握除法模型的基础上建立起来的。因此，这个问题情境的创设为后续按比例分配模型的建立奠定了基础。老师又通过其它问题情境的创设，引发了学生探索的欲望。在探索过程中，使学生亲身经历解决问题的全过程。通过这些体验，使学生认识到现实中有这样的问题：要将一些物品按要求进行分配时，要先算出总份数，然后再用除法算出每份数，进而算出需要的数量。当然也可以用分数乘法直接来解决。同时，借助分橘子的具体实例，使学生更加明确了分数与除法之间的密切联系。加深了对按比例分配模型的认识。纵览全课，老师通过创设“问题情境——建立按比例分配模型——解释与应用”的学习过程，有效地帮助学生学会了新知。

小学数学中的概念，虽然表现形式很多。如：用图画来揭示概念的本质属性，用描述的方法来说明概念，用逐步渗透的方法来揭示概念的本质属性，用定义来揭示概念的本质属性等。但由于数学概念的抽象性与学生思维形象性的矛盾，在进行数学概念教学时，我们必须注意概念的直观性和概念的阶段性，以适应学生的认知特点。

再以王文妮老师的“认识平行四边形”为例。具体建模过程如下：

1.初步感知平行四边形特征

（通过预习，学生已经知道了平行四边形。）课件出示一个平行四边形图，提问：为什么我们把这样的图形叫做平行四边形呢？（板书“平行四边形” ）拿出你的平行四边形纸片进行观察、思考，然后和同桌讨论、交流一下。

  （1）学生观察、猜测、动手验证（用尺子测量、平移）；

（2）同桌讨论、交流；

（3）反馈，板书“两组对边分别平行的四边形”；

（4）课件演示平行四边形的两组对边分别平行。

2.辨析图片，抽象概括，完善定义

（1）出示第一个平行四边形纸片（较大、正放）：这个是不是平行四边形？（旋转，变换位置）现在它还是平行四边形吗？

看它是不是平行四边形，要根据什么来判断？

我们大家一起用手来比划一下这两组平行线吧。

 （2）出示第二个平行四边形纸片（较小、斜放）：这个是不是平行四边形呢？（旋转）这样放呢？（再旋转）这样呢？

（3）出示第三个平行四边形纸片（随意放）：这个是吗？现在老师给它动个小手术，“喀嚓”用剪刀剪一刀（边说边剪下一个角）。

看！现在它还是平行四边形吗？揭示平行四边形首先必须是四边形。（板书“四边形” ）

（4）概括定义：现在你能说说到底什么叫平行四边形了吗？指明生说，师完善板书。然后，看着板书全班同学大声朗读平行四边形定义，并说给同桌听听。

当学生已经充分感知并建立表象后，师不失时机地在此基础上，通过分析、比较、综合、抽象、概括使学生获取对事物本质属性的认识，从而使学生的感性认识跃进到理性认识。在这个概念形成的过程中，可运用变式与反例，凸显概念的本质属性，帮助学生建立正确的概念（即数学模型）。

第三环节：根据定义，明确外延。

1.出示一个长方形纸片，问：这个是平行四边形吗？认为不是者请站起来。

师先请站着的同学说理由，然后请坐着的代表发言。

当坐着的说“因为长方形的两组对边分别平行，所以它也是平行四边形”时，再问站着的同学，是否改变主意？假如也认为“是”了，就请坐下。

等全体都认可的情况下，教师板书“长方形”，并顺势补充说明：“我们可以说长方形是特殊的平行四边形。”

 2.出示一个正方形纸片，问：这个是什么图形？它是平行四边形吗？根据学生回答师板书“正方形是特殊的平行四边形”。

3.小结：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形、正方形都是特殊的平行四边形。

当用定义把概念的本质属性揭示出来时，师采取相应的手段帮助学生明确了概念的外延，以便学生在理解的基础上更好地掌握概念。

 第四环节：运用分类，形成概念系统。

（之前，已用以上的教学方式进行了梯形的概念教学）

1.练习：从下面图形中找出平行四边形和梯形，并给平行四边形打上√，给梯形画上☆。

  2.学生做题，师巡视，然后选一张在实物投影仪下讲评。

3.分类，小结：

（1）分类：假如我们要给这些图形分类，你打算把它们分成几类？哪三类？（第一类是打√的，第二类是画☆的，第三类是既不打√也不画☆的。）打√的一类是什么？画☆的一类？既不打√也不画☆的一类？（板书“一般四边形” ）平行四边形有几组对边平行？梯形呢？一般四边形呢？我们是按什么标准把它们分成三类的？它们可以统称为什么？（板书“四边形” ）

（2）小结：从这里我们可以看出，平行四边形和梯形是特殊的四边形，而长方形和正方形又是特殊的平行四边形。

4.用集合图表示各四边形之间的关系。

分类是根据事物的本质属性或者显著特征所进行的划分，它是揭示概念外延的一种逻辑方法。通过分类可以准确地揭示概念的外延，起到明确概念的作用。同时，还能使知识条理化、系统化，防止概念的混淆。只有当学生了解了一个概念与其他概念的相互联系以及这个概念在知识体系中所处的地位，才能对这个概念有比较全面、深刻的理解。因此，当学生学习一定数量的概念后，教师应运用分类的思想方法帮助学生形成正确的概念系统。

数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有着古老的历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型，特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。俗话说：“教学有法但无定法”。任何教学策略必须结合自己的实际，结合学生实际才能取得优良的效果。因此，在教学实践中，我们要借鉴名师经验，细心揣摩，努力提高自身素质，才能真正探究出更多、更好的数学模型。

亲爱的同仁们，让我们紧跟时代的步伐，不断更新教育理念，大胆实践新的课堂模式，为培养更多、更优秀的人才献计献策吧！