容器的容积小于它的体积。这句话对吗？

答：不对。容积是指容器所能容纳物体的体积，容器的体积是指容器自身的体积。

体积是指物体所占空间的大小。一种物体有体积，可不一定有容积。

容器的体积是指哪一部分呢？容器的体积包不包括容器的容积？以烧杯为例，容积是指烧杯内所能容纳的物体的体积。体积是指玻璃所占空间的大小，还是玻璃所占空间及其容积之和呢？
请赐教！

在《小学教学》上曾看到张奠宙先生也谈到这个问题：文中谈到杯子的体积时，似乎要区分有盖、无盖的情形。有盖的茶杯，包含中空的部分，所以它的体积比它的容积大。无盖的茶杯的体积就只是它的实体部分，不含中空部分，所以一般说来，其体积比容积小。这次探究课，学生把茶杯一律当做有盖的情形在考虑了。”

将生活中的问题“问题情境”，抽象成数学问题，然后建立模型，求解，此时的问题的解是数学中的解，是确定的。然后再回到到生活中去解释与应用，此时的解不一定是确定的，要根据实际的需要了。

……

由了上面的分析，我们再来看“体积是多少的问题就容易了”。

它是一个生活问题吗？显然不是。是数学问题吗？显然也不靠谱。数学只给出了基本的、抽象的形态。这里图形套图形已不是基本的形态了。能不能看成是“复合图形”的问题呢？这是可以的，可以看成两个正方体的组合，或说两个正方体的复合体。如果这样，就要分别计算两个正方体的体积，外部的体积是多少，内部的体积是多少，这是我们数学中能办到的事。但这样算完以后有什么意义？数学是不管的，只管傻算。对于结果的“解释与应用”是人的事，不是数学的事。

这样说来，要不要扣除内部的体积，要看生活——你出题人（应当是遇上问题的人，只可惜，人们并没有遇上这样的问题，却编造了这样的问题，所以说是“出题的人”。）的意图了。你是遇上的包装运输问题？还是称重下料问题？包装运输肯定要算外部的，内部的不用减就是了，如果是称重运输或称重下料，当然要去掉内部的。在这样的问题中，连通不连通外部有关吗？当我们把眼光回到真正的现实，我们会发现，这些本不是问题。是我们自己给自己套了一些枷锁，兜来兜去的毫无意义。

如是，想一想下面的问题，是不是可以解答了？

“环形有周长吗？”

“计算筷子的体积有用吗？”

“铁路也有端点呀？（用铁路引出直线）”

“没有盖的水池的是立方体吗？它有几个面？”

“钢管的表面积是否应该包括内表面？为什么？”

……

我们往往不能将数学中的公式直接套用在生活中具体的情境中，我们常常需要根据具体的情境和我们的目的，对数学公式、数学模型再做一些修正。就如我们讨论的茶杯体积问题。如果我们是想求出制造这只茶杯需要用到多少料。那么，我们需要求的就是这只茶杯的实体部分。如果需要将茶杯打包储运，那么无论有盖无盖、这只盖有孔无孔，都应当计算它的中空部分，如果是看这只茶杯能盛放多少液体，那么只需要计算它的中空部分（也就是容积）就行了，……

由于茶杯并不是我们数学中的一般模型，不属于我们学习过的正方体、长方体、圆柱、圆锥等少数的几何体，没有现成的公式可以套用，这就需要我们根据茶杯的具体形状和我们的目的，对数学中的理想公式做一下变通。世间万物形态各异，我们无法一一给出他们各自的求积公式，不可能，也没有必要。——于是，我们常常需要做等积变形。

从上面的例子，我想说明，数学是让人聪明的学问，其聪明之处就是体现在知道何时做出取舍，而不是拿一个模子硬去套一些具体的事情。

——以上是任景业老师的观点

学习任景业老师《体积是多少？》后的思考

                              余广武

近日，拜读的任景业老师《体积是多少？》。任老师一写了四篇文章，借以表达他的观点。通过学习，也引发了我的一些思考。

问题是一个老师提出“容器的体积是指哪一部分呢？容器的体积包不包括容器的容积？以烧杯为例，容积是指烧杯内所能容纳的物体的体积。体积是指玻璃所占空间的大小，还是玻璃所占空间及其容积之和呢？”以及相关的争论说起的。

我一口气看完任老师的几篇文章，产生下面的想法：

 “数学是研究数量关系和空间形式的科学”（2011年版《数学课程标准》）。我们所研究的数学是经过抽象了的，突出其本质属性的东西。正如任老师所说的：“空间形式也是从物体的具体形态中抽象以后的结果，是因为我们关注的属性或说侧重点的不同抽象得到的数学对象。”比如，我们研究烧杯的容积，其实已经把烧杯的里面看成是一个圆柱体，求的就是这个圆柱体的体积。这是一个抽象化的过程，目的就是使复杂度降低，以得到论域中较简单的概念，好让人们能够控制其过程或以纵观的角度来了解许多特定的事态。（抽象化是指以缩减一个概念或是一个现象的资讯含量来将其一般化的过程，主要是为了只保存和一特定目的有关的资讯。）因此，讨论烧杯容积的时候，我们是否可以忽略烧杯中那些不是圆柱体的信息。

接着说“烧杯的体积”。我们研究所谓“烧杯的体积”的时候，是不是也要考虑这个“烧杯”在空间形式中的属性。对于烧杯这样一个容器，从数学的角度看，它实质上也是一个“圆柱体”。

我在想，为什么会有关于“烧杯的体积”这种问题的争论，是我们的教师对知识的科学性有探究精神，还是我们真的在钻“牛角尖”，还是我们的数学素养确实太低了？我不敢轻易下结论。这样的问题往往是伴随着课改出现的，因为在课标实验稿实施过程中，我们强调了数学问题“生活化”，在这个过程中，我们往往忽视了生活中问题“数学化”。因而在编制题目的时候会片面地追求“生活化”，导致所编制的题目“生活味”很浓，“数学味”受到削弱。杯子有盖与无盖，似乎不是我们在讨论一个重要的因素，如果要这么讨论的话，那么，有些茶杯是有把手的，是不是也要跟学生说清楚，这个茶杯的把手要忽略不计呢？我们在讨论一辆汽车的车箱容积的时候，是不是也得说明这个车箱的四壁都是光滑的？在计算长方形桌面的面积时，是不是要告诉学生这个长方形桌面的四个角都直角，而不是弧形的？（事实上，很多课桌的桌面，在制作的时候，为了案例，四角都做成圆角。）诸如此类问题，我想还是要从实物抽象出几何图形，然后才进行讨论，这样的讨论才有意义。