郑毓信《数学方法论》学习心得之三

余广武

《数学方法论》中第一章介绍了波利亚的数学启发法。

波利亚在《数学的发现》中，给出了四个具体的解题模式，分别是：双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式和叠加模式。波利亚指出：“对于一个特例所以要进行这样周密的描述，其目的就是为了从中提出一般的方法和模式。”波利亚在笛卡儿“万能方法”（第一，把任何问题转化为数学问题；第二，把任何数学问题转化为代数问题；第三，把任何代数问题归结为解方程。）的基础上，对所说的“笛卡儿模式”进行概括——一是要在很好地理解了问题的基础上，把问题归结为确定若干个未知的量。二是用最自然的方式通盘考虑一下问题，设想它已经解出来了，把已知量和未知量之间根据条件所必须成立的一切关系式都列出来。三是列一部分条件，使得你能用两种不同的方式去表示同一个量，这样可以得出一个联系未知量的方程式。这样做下去，最后就把条件分成了若干部分，从而得出方程式与未知量个数相等的一个方程组。递归模式是我认为比较符合小学进行归纳推理的一种模式，在小学数学教学中，应用“数学归纳法”事实上就是递归模式的直接应用。文中指出：所谓递归，笼统地说，是指运用收集到的知识作为行动的基础去获得更多的知识。由于这里所涉及的往往是多个、甚至是无穷多个未知量，因此，所谓的递归事实上也就是指知识的“不断扩张”：“在解题的每一个阶段，我们者把关于一个新的分量的知识加到已经得到的知识上去，在每一阶段，我们又都要用已经得到的知识去得出更多知。我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国。在每个阶段，我们利用已被征服了的省份作为行动基础去征服下一个省份。”（“已被征服的省份”就是特例，“整个王国”就是“普遍的公式或结论”。叠加模式就是指“从一个或若干个导引特款出发，利用特殊情形的叠加去得出一般问题的解。”

《怎样解题》是波利来关于解题的著作，在《数学方法论》中主要介绍了“解题过程”、“解题过程中思维活动的品质”、“怎样解题”三个方面。以下是波利来关于这几个方面的若干观点。关于什么是问题？他说：“意味着要去找适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的。”“如果问题非常困难，这就是一个大问题，如果难度不大，那就是只有一个小问题。而困难的程度就含于问题的概念本身之中：那里没有困难，那时就没有问题。”“从后果向前推是一个非常一般和有用的模式。”“计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心检查每一个细节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。”“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下认论证后，就会合上书本，找点别的事来做。这样，他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。”郑毓信在文中概括出解题过程可以被分割成四个步骤，分别是：弄清问题，制定计划，实施计划和回顾。波利亚还指出：“最糟糕的情况是，学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。”事实上，在很多课堂上，教师在提出问题的时候，往往没有很明确提出问题，或者在学生还没弄清问题是什么的时候，就急于让学生去思考，让学生探究，结果可想而知，不少学生充当陪读的角色，他们茫然不知所措。这也是当前探究式教学实施得不好的一个主要原因。波利亚还认为：“一个问题的解法可能会很突然地出现在我们面前。常常在长时间反复考虑一个问题而没有明显的进展之后，我们突然得到一个巧妙的想法，好像掠过了一道灵感，看到灿烂的阳光。”关于解题过程中思维活动的性质，一是动员与组织；二是辨认与回忆，充实与重新安排；三是分享与组合；四是总结。以关于思维活动的分析为基础，波利亚提出了关于怎样解题的一些建议：1）“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。”“在任何主题中，都会有一些关键事实（关键问题、关键定理）。我们应当把这些关键事实放在记忆库的最前面。”“我们应当把过去解过的具有相同类型未知量的问题及过去证明过的具有相同结论的定理设法‘贮存在一起’ 。” “概括一下有关的问题也许能使知识的组织搞得更好一些。”2）集中目标。在解题过程中，要经常问自己：“你要求是的什么？”“你有些什么？”3）所要求的：途径。“怎样才能救出所要求的东西？——什么是未知量？你怎样才能求出这种类型的未知量？根据哪些已知量你能救出这一类未知量？（结论是什么？你怎样才能推出这种类型的结论？根据哪些假设条件就能推出这种类型的结论？）4）努力调动有关的知识。“关键事实”是什么？有一个具有同样类型未知量的问题（特别是过去解过的问题）吗？这是什么类型的问题？它与某个已知的问题有关吗？它像某个已知的问题吗？你知道或能设想出一个同一类型的问题吗？你知道或能设想出一个类似的问题吗？你知道或能设想出一个更为一般的问题吗？你知道或能设想出一个更特殊的问题吗？5）如何摆脱困境？你能把全部条件都考虑进去了吗？你把所有的已知量都用上了吗？你把全部假设都考虑进去了吗？你对问题直接涉及的所有概念都了解吗？你能对问题重新进行表述以使它变得更加熟悉、更易于接近和更有希望解决吗？波利亚指出：“可能任何类型的思维守则都在于掌握和恰当地运用一系列合适的提问。”因此，这些“定型的”问题和建议事实上就构成了数学启发法的核心内容。

在小学数学规则学习中，我们可以应用“递归模式”和“怎样解题”理论，在学生学习公式、性质、定理、定律、法则之前，把相关规则的学习看成是一个个证明（解决问题）的过程，例如，学习乘法结合律，我们可以通过猜想——推理——验证获得这一规律。

“合情推理”是合理的猜测方法。波利亚指出：“论证推理是可靠的、无可置疑的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。”但是，与论证推理一样，合情推理在数学中也有着广泛的应用。波利亚的观点还有：“我不相信有十拿九稳的方法，用它可以学会猜测”；但是波利亚相信：“假如我们能从一种情形学到适用于其他一些情形的某些东西，那么这种情况就是有启发性的，可能适用的范围就越有启发性。”“类比是某种类型的相似性，……是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键在于如何把关于对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚。类比方法的各种用途：1）类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉。2）类比在求解问题中也有着广泛的应用。3）类比不仅可以被用于发现，而且也可以被用于对猜测进行检验。

“归纳”是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律。波利来指出，归纳过程的典型步骤为：首先，我们注意到了某些相似性；然后是一个推广的步骤，即把所说的相似性推广为一个明确表述的一般命题；最后，我们又应对所得出的一般命题进行检验，即应进一步考察其他的特例，如果在所有考察过的例子里，这一猜测都是正确的，我们对它的信心就增强了，而如果出现了不正确的情况，我们就对原来的猜测进行改进。归纳在数学中的实际应用思想：1）类比是归纳的基础；2）特殊化与一般化构成了整个归纳过程的基础；3）如果一批问题是密切相关的，把这些问题联系起来加以考察有时要比单独去解决其中一个孤立的问题容易些。

郑毓信教授在书中还介绍了“问题解决”现代研究的情况。特别是对“问题解决”的界定，我觉得是一个比较全面和准确的。他说：“所谓‘问题解决’在些是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。”它是一个包含有多个环节的复杂过程。“调节”和“观念”上两个主要的环节。“调节”是指解题者对于自身所从事的解题活动（包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等）的自我意识、自我分析（包括评估）和自我调整。“调节”常常也被称为“元认知”。解决问题并非是一个按照事先制定好的程序一成不变地去加以实施的机械过程，而是需要不断对所发生的情况进行自我评估并随时加以必要调整的动态过程，显然，这种自我评估和自我调整又是以对解题过程清醒的自我意识为必要前提的。“观念”是指解题者的数学观、数学教育观念及其对于自我解题能力的认识等。