第三讲  同余

【核心观点】

同余，顾名思义，就是余数相同．最先引入同余的概念与记号的是数学王子高斯． 

【定义】

定义1 给定一个非零自然数m，如果用m去除两个整数a，b所得的余数相同，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m，或读作a 与b关于模m同余．

定义2 若a与b是两个非零自然，并且它们的差a-b能被一个非零自然数m整除，那么，就称a与b对于模m同余．

【性质】

定理1（1）a≡a(mod m)．

　    （2）若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)．

　　  （3）若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)．

定理2（1）若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)．

（2）若a≡b(modm)，k是自然数，n是自然数，

则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，an≡bn(modm)．

定理3若n≥2，a≡b(mod m1)，a≡b(mod m2)，…………a≡b(mod mn)，

　　  且M=[m1，m2，…，mn]表示m1，m2，…，mn的最小公倍数，则a≡b(mod M)．

应用同余的性质可简捷地处理一些整除问题．若要证明m整除a，只需证a≡0(mod m)．

 

【典型问题】

【问题1】（1）64325-1除以63所得的余数是             ．

【解析】

 

 

（2）设2201除以7所得的余数为               ． 

【解析】

 

 

 

（3）乘积418×814×1616除以13所得的余数为               ．

【解析】

 

 

 

（4）a除以5余1，b除以5余4，且3a＞b，则3a-b除以5的余数为              ．

【解析】

 

 

 

（5）设x=1×1990+2×1990+3×1990+…+1990×1990，那么x被9除的余数是        ．

【解析】

 

 

【问题2】11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？

【解析】

 

 

 

【问题3】求证：101999+231999是11的倍数。

【解析】

 

 

 

【问题4】求2424，6363的个位数字.

【解析】

 

 

 

【问题5】一盒棋子，4个4个数多1个，6个6个数多1个，15个15个数多1个，这盒棋子数在150~200之间，问这盒棋子有多少个？

【解析】

 

 

 

【问题6】一盒棋子，4个4个数多3个，6个6个数多5个，15个15个数多14个，这盒棋子数在150~200之间，问这盒棋子有多少个？

【解析】

 

 

 

【问题7】一个数除492，2241，3195的余数相同，问这个数最大是多少？

【解析】

 

 

 

【问题8】一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是________.

 【解析】

 

 

【问题9】一个整数除以3余1，除以4余2，除以5余2，这个数最小是多少？

【解析】

 

 

 

 

【问题10】已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少？

【解析】

 

【问题11】在1~2008的所有自然数中，有________个整数使得与被7除余数相同.

【解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

【问题12】三个连续的两位数除以5的余数之和是7，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和是15．则这三个数除以11的余数之和是        ．

【解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

【问题13】现有三个整数393，603，939，其中，，， 又有，a、b、c 是三个不为零的自然数，则自然数__________.

【解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【试试看】

【1】今天是星期三，到第1000天是星期几？

【解】

 

 

【2】若1059，1417，2313分别被自然数x除时，所得余数都是y，则x-y=           ．

【解】

 

 

 

 

【3】若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是（     ）

A. 25                   B. 26                   C. 27                   D. 28

【解】

 

 

【4】一个两位数被7除余1，它的反序数被7除也余1，那么这样的两位数共有（       ）

A. 2个                B. 3个                 C. 4个                D. 5个

【解】

 

 

【5】320+8被8除的余数是_________.

【解】

 

 

 

【6】黑板上写着13个数：1908，1918，1928，1938，1948，1958，1968，1978，1988，1998，2008，2018，2028．小明第一次擦掉其中的一个数，第二次擦掉剩下数中的两个数，第三次擦掉剩下数中的三个数，第四次擦掉剩下数中的四个数，他想使得每次擦掉数后剩下的所有数之和为13的倍数，小明的意图能否达到？如果可以，给出一种可行的方法；若不能，请说明理由．

【解】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【7】在“圆明杯”数学竞赛中，数学老师出了一道题：“2011分别除以m个不同的自然数，得到的余数都是11”，请推算m的最大值是       

【解】

 

 

 

 

 

 

【试试看参考答案】

【1】今天是星期三，到第1000天是星期几？

【解】从今天到第1000天相隔999天，1000-1≡5(mod 7)，3+5-7=1，是星期一.

 

【2】若1059，1417，2313分别被自然数x除时，所得余数都是y，则x-y=           ．

【解】∵1059≡y(mod x) ，1417≡y(mod x) ， 2313≡y(mod x)，

∴1417-1059=358≡0(mod x)，2313-1417=896≡0(mod x)， 2313-1059=1254≡0(mod x)

又（358，896，1254）的最大公约数为2，则x=2， y=1，x-y=1．

【3】若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是（     ）

A. 25                   B. 26                   C. 27                   D. 28

【解】1995除以6的余数是3，a≡1995 (mod 6)，a除以6的余数也是3，只有a=27，选C.

 

【4】一个两位数被7除余1，它的反序数被7除也余1，那么这样的两位数共有（       ）

A. 2个                B. 3个                 C. 4个                D. 5个

【解】列出满足条件的所有两位数：15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，85，92，99    两位数据反序数也满足条件的有：22，29，92，99，选C.

 

【5】320+8被8除的余数是_________.

【解】余1.

 

【6】黑板上写着13个数：1908，1918，1928，1938，1948，1958，1968，1978，1988，1998，2008，2018，2028．小明第一次擦掉其中的一个数，第二次擦掉剩下数中的两个数，第三次擦掉剩下数中的三个数，第四次擦掉剩下数中的四个数，他想使得每次擦掉数后剩下的所有数之和为13的倍数，小明的意图能否达到？如果可以，给出一种可行的方法，不能请说明理由．

【解】可以：依次擦掉   （2028）；   （1958，1968）；   （1908，1938，1978）；   （1918，1928，1998，2008）。（1948、1988、2018）

思路如下：

写出的13个数除以13余数互不相同，10，7（mod13），4（mod13）、1（mod13）,11(mod13)、8(mod13)、5、2、12、9、6、3、0、每一次操作就是去掉13的倍数，即要将0～12分成五组，每一组数的个数分别为1，2，3，4，3，使得每一组数之和都是13的倍数。

 

【7】在“圆明杯”数学竞赛中，数学老师出了一道题：“2011分别除以m个不同的自然数，得到的余数都是11”，请推算m的最大值是       

 

【解】这m个自然数都大于11，且都是2000的约数。故只需求2000的大于11的约数即可。

2000的约数共20个，其中小于11的有1，2，4，5，8，10共6个，所以m的最大值为14.