第四讲  完全平方数和不定方程

【核心观点】

【定义】完全平方数： 一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：  0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

【性质】
⑴完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.

⑵奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数.

证明：奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
  分别平方后，得
  　　(10a+1)2=100 a2+20a+1=20a(5a+1)+1
  　　(10a+3) 2=100 a2+60a+9=20a(5a+3)+9
  　　(10a+5) 2=100 a2+100a+25=20(5a+5a+1)+5
  　　(10a+7) 2=100 a2+140a+49=20(5a+7a+2)+9
  　　(10a+9) 2=100 a2 +180a+81=20 (5 a2+9a+4)+1
  综上：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数.

⑶如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.
  【推论】
 ①如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数.
  ②如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数.

⑷偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1.
 
⑸奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型.

 

⑹平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1.
  (因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
  (3m) 2=9 m2=3k
  (3m+1) 2= 9m2+6m+1=3k+1
  (3m+2) 2=9 m2+12m+4=3k+1)

⑺不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型.

⑻平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9.
 
⑼在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.

⑽一个非零自然数n是完全平方数当且仅当n有奇数个因子(包括1和n本身).
  

  【重要结论】
⑴个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；　
⑵个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
⑶个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
⑷形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
⑸形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
⑹形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
⑺形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数.

 

  【不定方程】形如  的方程叫做二元一次不定方程，当，且的一组整数解为，那么  为任意整数）是不定方程的全部整数解.

【典型问题】

【问题1】把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（      ）位数字.

【解析】

 

 

 

 

【问题2】46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（   ）.

【解析】

 

 

 

 

【问题3】将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，……，100．现有100个人去拉开关，

第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到

第100个人将100号灯泡拉一下．假定开始时，灯泡全不亮，试问：这100个人全拉完后，

哪些编号的灯泡是亮的？

【解析】

 

 

 

 

【问题4】一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.

【解析】

 

 

 

【问题5】用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
【解析】

 

 

 

【问题6】甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
【解析】

 

 

 

【问题7】n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，求n.

【解析】

 

 

 

 

【问题8】请从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数。

【解析】

 

 

 

 

 

【问题9】求的所有整数解.

【解析】

 

 

 

 

【问题10】一个自然数除以17余7，除以19余9，那么这个自然数最小是        

【解析】

 

 

 

 

 

【问题11】小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了1本．那么，共有_______种不同的购买方法．

【解析】

 

 

【问题12】某地水费的收缴方式如下：每月不超过10时，按收缴；超过10时，超过部分按，不超过10部分，按收缴。今年12月，张家比李家多缴水费元，如果两家用水量都为整数，问张家、李家各缴水费多少元？

【解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

【问题13】请你找出三个连续自然数，它们依次能被3，7，13整除.

【解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

【问题14】三个连续自然数，都小于1001，已知，则    392    

【解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【试试看】

【1】如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.

【解】

 

 

【2】如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.

【解】

 

 

【3】如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.

【解】

 

 

【4】一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？

【解】

 

 

【5】一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数

【解】

 

 

【6】求的所有自然数解。

【解】

 

 

【7】已知代表两位整数，求方程的解

【解】

 

 

 

【8】求满足下列条件的所有自然数：
  (1)它是四位数。  (2)被22除余数为5。  (3)它是完全平方数。
 【解】

 

 

 

 

 

 

 

 

【试试看参考答案】

【1】如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.

【解】1，2，5，6，7，0　

 

【2】如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.

【解】0，3，3　

 

【3】如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.

【解】0

 

【4】一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？

【解】不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除

 

【5】一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数

【解】所求的自然数是1981。

 

【6】求的所有自然数解.

【解】先求特殊解，求得所有整数解为：

 

【7】已知代表两位整数，求方程的解

【解】变形：，

 

【8】求满足下列条件的所有自然数：
  (1)它是四位数。  (2)被22除余数为5。  (3)它是完全平方数。
 【解】设这个数为，则

设，其中

.

而

故：

即共6个值.