第二讲　质数、合数、分解质因数

【核心观点】

1. 质数和合数

⑴只有1和它本身两个因数的非零自然数，叫做质数. 如：7和11都是质数；

⑵除了1和它本身还有别的因数的非零自然数，叫做合数.如：9和12都是合数.

①规定：1既不是质数，也不是合数；

②除1之外的非零自然数，不是质数就是合数；

③自然数是无限的，因此质数和合数也都是无限的.

⑶判断一个数是合数还是质数的方法：

①先找各数的因数，再根据质数和合数的意义去判断；

②判断一个数是不是质数，还可以查质数表，凡是质数表中有的数就是质数；

③100以内质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.

 

2.分解质因数

⑴质因数的意义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数.

⑵分解质因数的意义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如6=2×3，24=2×2×2×3

⑶分解质因数的方法：分解质因数时，通常用短除法。短除法是除法的简化。用短除法分解质因数，除数一定要用质数，应按照质数从小到大的顺序，看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到除得的商也是质数为止。

 

3.算术基本定理: 任何大于1的整数A都可以分解成质数的乘积，若不计这些质数的次序，则这种质因子分解表示式是惟一的，进而A可以写成标准分解式：.

(其中为质数，为自然数，i=1，2，…，n.)

推论：（合数的因子个数计算公式）若为标准分解式，则A的所有因子（包括1和A本身）的个数等于：

【典型问题】

【问题1】判断269，437两个数是合数还是质数。

【解析】

 

 

 

【问题2】判断数1111112111111是质数还是合数？

【解析】

 

 

 

【问题3】判断：和是质数还是合数？

【解析】

 

 

 

【问题4】写出五个连续的自然数，个个都是合数，这五个数分别是多少？
【解析】

 

 

 

【问题5】已知A是质数，（A+10）和（A+14）也是质数，求质数A.

【解析】

 

 

 

【问题6】把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？

【解析】

 

 

 

【问题7】一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？

【解析】

 

【问题8】把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组，要求每组中任两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？

【解析】

 

 

 

【问题9】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?

【解析】

 

 

 

【问题10】在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个？

【解析】

 

 

 

【问题11】试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。

【解析】

 

 

 

【问题12】求小于100的只有8个约数的一切自然数。

【解析】

 

 

 

【问题13】A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?

【解析】

 

 

 

【问题14】有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。其中一个质因数是两位数，这个质因数的数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是多少？

【解析】

 

 

 

【问题15】整数是完全平方数 则      ；      。  

【解析】

 

 

 

【问题16】 是一个两位数，若这个两位数的平方Ｎ的末两位仍是数字，则_________.

【解析】

 

 

 

 

 

【问题17】一个六位数，将其个位数字移到首位，其余数字顺序不变，得到一个新的6位数．如果新的六位数是原六位数的4倍．求这样的六位数．

【解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【试试看】

【1】在下面算式的方框内，各填入一个数字，使得□□□×□=1995成立。

【解析】

 

 

【2】自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。求a的最小值。

【解析】

 

 

 

【3】用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。

【解析】

 

 

【4】小虎用216元买了一种小画片（单价是整数元），如果每张画片的价钱便宜1元，那么他还可以多买3张。问小虎买了多少张画片？

【解析】

 

 

【5】求240的约数的个数。

【解析】

 

【6】5112的约数有多少个。

【解析】

 

 

【7】21000的约数个数是多少？所有约数的和是多少？

【解析】

 

 

【8】有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数。

【解析】

 

 

【9】北京中学广播站的老师对寒假到学校参加冬令营的小朋友们说：“我们学校广播站的电话号码是个七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，并且这个七位数的末四位数按原来顺序组成的四位数是前三位数按原来顺序组成的三位数的10倍，若谁能说对了这个号码，将免费参加这次冬令营。最终小明免费参加了冬令营，请问小明回答出的七位数是__________.   

 

 

 

 

 

 

【试试看参考答案】

【1】在下面算式的方框内，各填入一个数字，使得□□□×□=1995成立。

【解析】根据题意，要使一个三位数与一个一位数的积等于1995，那么这两个数的积应与1995有相同的质因数。

　1995=3×5×7×19

　用1995的质因数3、5、7分别作为一位数，可以写出三个满足条件的算式。

　665×3,399×5,285×7。

 

【2】自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。求a的最小值。

【解析】根据题意，a与2376的积是一个平方数，由于平方数的每个质因数都是偶数个，所以可先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对。

　2376= 23×33×11，质因数 2、3都有3个，质因数11有1个，要配对，至少还需2、3、11各1个。　所以，a最小是2×3×11=66。

 

【3】用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。

【解析】根据题意可知，被除数1170与余数78之差1092应是除数与商之积，所以，可把1092分解质因数，再重新组合这些质因数，写成两数之积，其中大于78的两位数就是所求的。　1092= 22×3×7×13=84×13=91×12　　所求两位数为84或91。

 

【4】小虎用216元买了一种小画片（单价是整数元），如果每张画片的价钱便宜1元，那么他还可以多买3张。问小虎买了多少张画片？

【解析】根据题意，画片的单价与画片的张数之积应等于216（分），那么它们乘积的质因数应与216相同。可先把216分解质因数，写成两数相乘形式，再根据条件求解。　　216= 23×33 =8×27=9×24　　显然，216分可买27张8分1张的画片，可买9分1张的画片24张，8分比9分便宜1分，27张比24张多3张，恰好符合条件。所以，小虎买了24张画片。

【5】求240的约数的个数。

【解析】240有20个约数。

【6】5112的约数有多少个。

【解析】5112=2×2×2×3×3×71   　　（3+1）×（2+1）×（1+1）=24

【7】21000的约数个数是多少？所有约数的和是多少？

【解析】21000=23×3×53×7,

所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．

 

【8】有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数。

【解析】相邻两个奇数相差为2，现在已知有五个连续的奇数，当我们假定中间那个奇数为x时，那么从小到大这五个连续的奇数分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4。根据条件可得方程：（x—4）（x—2）x（x+2）（x+4）=135135。

　　方程虽然列出来了，但我们不会解这个高次方程，只好另寻它途。

把135135分解质因数：135135= 33×5×7×11×13，而11与13正好是两个相邻的奇数，从这一事实出发，只要把 ×5×7适当调配一下，便有 ×5×7=7×9×15，而7、9、11、13、15正好是相邻的五个奇数，这样就找到了答案。所以这五个连续的奇数为7、9、11、13、15

 

【9】北京中学广播站的老师对寒假到学校参加冬令营的小朋友们说：“我们学校广播站的电话号码是个七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，并且这个七位数的末四位数按原来顺序组成的四位数是前三位数按原来顺序组成的三位数的10倍，若谁能说对了这个号码，将免费参加这次冬令营。最终小明免费参加了冬令营，请问小明回答出的七位数是__________.   

【解析】分解质因数时必有2与5，所以从2开始的质数。

满足。答案：9699690