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西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢?

(2020-12-22 15:06:40)
标签:

财经

健康

教育

历史

娱乐

分类: 欧几里得

欧几里得117西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢?

 

2017330日,网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数?》的文章。

西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢?

 

文章内容:

我们证明了根号2是无理数。根号3呢?根号5呢?

…证、明、证明:见《欧几里得6

…无、理、无理数:见《欧几里得27》…

我们证明了根号2是无理数:见《欧几里得116

 

你可能偶尔看到过,Theodorus(通常译为西奥多罗斯曾证明它们也是无理数。但Theodorus试图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了

西奥多罗斯约公元前465一前399):希腊数学家毕达哥拉斯学派的成员。

哲学家柏拉图和数学家泰特托斯的数学老师曾学习过几何学、天文学、和声学、算术与大哲学家苏格拉底交往甚密

 

你可以在网上看到,Theodorus对数学的贡献之一就是证明了317的非平方数的根是无理数。这给后人留下了一个疑问:怪了,为什么证到17就不证了呢?

平方数:又称完全平方数指可以写成某个整数的平方的数9 =3×39平方数

 

俄国的数学历史家到了原因

他猜测,当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的比如,要证明根号x不是有理数,于是x=p/q

x=p/q两边平方,转化一下,得p2=xq2p的平方=x·q的平方)。

我们已经证过x=2的情况了,剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分,那么显然pq都是奇数

 

一个奇数2n+1的平方应该等于4n^2+n+1,即8·nn+1/2 + 1

^:乘方

n^2n的平方…

…(2n+1^2=2n+1×(2n+1=4n^2+2n+2n+1=4n^2+4n+1=4n^2+n+1=4nn+1+1= 8·nn+1/2 + 1

 

其中nn+1/2肯定是一个整数

 

2n+1^2=8·nn+1/2 + 1nn+1/2是一个整数

证明:

 nn+1为连续自然数

 nn+1为一奇一偶

nn+1)是偶数(奇数乘以偶数得偶数)

nn+1)能被2整除

nn+1/2是整数

 

如果p=2k+1q=2m+1,把它们代进p^2==xq^2,有8[kk+1/2xmm+1/2]=x-1

p=2k+1q=2m+1代入p^2==xq^2得:(2k+1^2=x2m+1^2

2k+1^2=x2m+1^2两边化简:

4k2+4k+1=x4m2+4m+1

 8·kk+1/2 + 1=x[8·mm+1/2 + 1]

 8·kk+1/2 + 1=x·8·mm+1/2 + x

两边同时减1

8·kk+1/2 =x·8·mm+1/2 + x-1

两边同时减x·8·mm+1/2

8·kk+1/2-x·8·mm+1/2=x-1

提取公因式:

8[kk+1/2x·mm+1/2]=x-1

 

于是x-1必须是8的倍数

 

如果当时Theodorus西奥多罗斯是这么证明的,那么他可以得到这样一个结论如果x-1不能被8整除,那么√x不可能被表示成p/q,即x不是有理数。

 

好了,现在3571113减去1后都不是8的倍数,它们的平方根一定不是有理数

 

x=9时发生了一次例外,但9是一个平方数

x=9时发生了一次例外x=9x-1=9-1=8,是8的倍数

根据x-18的倍数时,x是无理数”,无法判断9的平方根是无理数,还是不是无理数。

“我们知道,9的平方根是3,不是无理数。所以‘9的平方根是无理数,还是不是无理数’不需要再判断。”中学生说。

“因此,西奥多罗斯得以越过9,继续证下去。”中学生接着说。

 

而当x=17这种证明方法没办法解释了,于是Theodorus就此打住

x=17x-1=17-1=16,是8的倍数

根据x-18的倍数时,x是无理数”,无法判断17的平方根是无理数,还是不是无理数。

“从17开始,x-18的倍数时,x是无理数’这种证明方法开始失效…西奥多罗斯无法继续证下去所以他就此打住。”中学生说。

 

0的平方根是01是平方根是12的平方根(2)已被证明是无理数,4916…是平方数,它们的平方根是已知的数…”另一位中学生说,“西奥多罗斯打算寻找剩下的数的平方根。

“剩下的数是:3678…”中学生接着说。

“如果剩下的数的平方根不能用整数之比表示出来…那它们就和2一样,是无理数。”中学生继续说。

西奥多罗斯曾尝试证明它们是无理数,并成功证明317的非平方数的根是无理数’。”中学生最后说。

西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢?

 

毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来它们掌握的只是纯粹的几何因此,Hippasus西奥多罗斯当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西

请看下集《欧几里得118、平、面、平面,平面几何,完全用平面几何知识证明结论


若不知晓历史,便看不清未来

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