欧几里得117、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？

 

2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。

 

文章内容：

…

我们证明了根号2是无理数。根号3呢？根号5呢？

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

…我们证明了根号2是无理数：见《欧几里得116》…

 

你可能偶尔看到过，Theodorus（通常译为西奥多罗斯）曾证明它们也是无理数。但Theodorus试图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。

…西奥多罗斯（约公元前465一前399）：希腊数学家。毕达哥拉斯学派的成员。

哲学家柏拉图和数学家泰特托斯的数学老师。曾学习过几何学、天文学、和声学、算术。与大哲学家苏格拉底交往甚密…

 

你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？

…平方数：又称完全平方数。指可以写成某个整数的平方的数。如9 =3×3，9就是平方数…

 

一位俄国的数学历史家“猜”到了原因。

他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是设√x=p/q。

√x=p/q两边平方，转化一下，得p²=xq²（p的平方=x·q的平方）。

我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。

 

一个奇数2n+1的平方应该等于4（n^2+n）+1，即8·n（n+1）/2 + 1。

…^：乘方…

…n^2：n的平方…

…（2n+1）^2=（2n+1）×（2n+1）=4n^2+2n+2n+1=4n^2+4n+1=4（n^2+n）+1=4n（n+1）+1= 8·n（n+1）/2 + 1…

 

其中n（n+1）/2肯定是一个整数。

 

…（2n+1）^2=8·n（n+1）/2 + 1，n（n+1）/2是一个整数。

证明：

 n，n+1为连续自然数

∴ n，n+1为一奇一偶

∴ n（n+1）是偶数（奇数乘以偶数得偶数）

∴ n（n+1）能被2整除

∴ n（n+1）/2是整数…

 

如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2==xq^2，有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1。

…p=2k+1，q=2m+1，代入p^2==xq^2得：（2k+1）^2=x（2m+1）^2

（2k+1）^2=x（2m+1）^2两边化简：

4k²+4k+1=x（4m²+4m+1）

 8·k（k+1）/2 + 1=x[8·m（m+1）/2 + 1]

 8·k（k+1）/2 + 1=x·8·m（m+1）/2 + x

两边同时减1：

8·k（k+1）/2 =x·8·m（m+1）/2 + x-1

两边同时减x·8·m（m+1）/2 ：

8·k（k+1）/2-x·8·m（m+1）/2=x-1

提取公因式：

8[k（k+1）/2–x·m（m+1）/2]=x-1…

 

于是x-1必须是8的倍数。

 

如果当时Theodorus（西奥多罗斯）是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论：如果x-1不能被8整除，那么√x就不可能被表示成p/q，即√x不是有理数。

 

好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。

 

在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。

…x=9时发生了一次例外：x=9时，x-1=9-1=8，是8的倍数。

根据“x-1不是8的倍数时，√x是无理数”，无法判断√9的平方根是无理数，还是不是无理数。

“我们知道，√9的平方根是3，不是无理数。所以‘√9的平方根是无理数，还是不是无理数’不需要再判断。”中学生说。

“因此，西奥多罗斯得以越过9，继续证下去。”中学生接着说。

…

 

而当x=17时，这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住。

…x=17时，x-1=17-1=16，是8的倍数。

根据“x-1不是8的倍数时，√x是无理数”，无法判断√17的平方根是无理数，还是不是无理数。

“从17开始，‘x-1不是8的倍数时，√x是无理数’这种证明方法开始失效…西奥多罗斯无法继续证下去…所以他就此打住。”中学生说。

 

“0的平方根是0，1是平方根是1，2的平方根（√2）已被证明是无理数，4、9、16…是平方数，它们的平方根是已知的数…”另一位中学生说，“西奥多罗斯打算寻找剩下的数的平方根。”

“剩下的数是：3、6、7、8…”中学生接着说。

“如果剩下的数的平方根不能用整数之比表示出来…那它们就和√2一样，是无理数。”中学生继续说。

“西奥多罗斯曾尝试证明它们是无理数，并成功证明‘3到17的非平方数的根是无理数’。”中学生最后说。

…

 

“毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。因此，Hippasus（西奥多罗斯）当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。

请看下集《欧几里得118、平、面、平面，平面几何，完全用平面几何知识证明结论》”

若不知晓历史，便看不清未来

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