欧几里得116、单、位、单位，古希腊的数学大厦轰然倒塌

 

2017年3月30日，网友发表名为《如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？》的文章。

 

文章内容：

…

直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus（通常译为希帕索斯）说，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

…希帕索斯：见《欧几里得17》…

 

…单：甲骨文（图1-3）的“单”字像带杈的木棍，在丫杈两端和分杈处，各捆绑着石头（一说中间部分是捆绑的绳索），以增加袭击的力量，用来击伤野兽，捕猎食物。

这是最原始的狩猎工具，后来变成了战斗的武器。

也有人认为，甲骨文的“单”字像一把捕鸟的拍子，上边是网，下边是手柄，指“捕鸟的工具”。由捕鸟工具演变成狩猎捕获野兽的工具，由此又变成杀敌的武器。

图4-6是金文的字形，与甲骨文大致相同，只是有的在中间的石头下增添一横，如图5。小篆（zhuàn）承接了金文的字形，并使之整齐化，上面改为两个并排的“口”，中间部分统一作“田”字形，并由此发展为隶书（图10-12）和楷书。在一些古代书法作品中，偶见将上面写作两个“厶（mu）”的。简化字“单”源于草书，将上部写作两点。

 

初文见于商代甲骨文，其古字形像长柄、两角缚（fù）有石块和绳索的古代狩猎工具，此义现不常用。用这种工具捕鸟兽，一般每次只能捕到一只，所以“单”有“一个，单独”的意思，引申指不复杂、少变化，由此又引申指只有一层的。

 

字义：[dn]

1.不复杂：～纯。简～。～调（diào）。

2.独一：～独。～一。～词。

3.只，仅：做事～靠热情不够。

4.奇（j）数的：～日。～号。

5.薄，弱：～薄。

6.衣服被褥只有一层的：～裤。～衣。

7.覆盖用的布：被～。床～。

8.记载事物用的纸片：～据。传～。名～…

 

…位：《说文解字》：“位，列中庭之左右谓之位。从人、立。”大在一之上是立的意思。人、立叠加。列中庭之左右所处是位的意思。

本义：所处的地方。如：座位、部位、位置（ａ．所在或所占的地方；ｂ．地位）、位于。

衍（yn）义：引申指“职务的高低”。如：地位、职位、名位。

衍义：引申指“特指君主的地位”。如：即位、篡（cuàn）位。

衍义：表示“一个数中每个数码所占的位置”。如：个位、百位数。

衍义：用作量词，常用于人，表尊重：诸位、各位、几位客人。

 

会意。从人、立。人站在朝廷上。本义：官吏在朝廷上站立的位置。

字义：1.所在或所占的地方：部～。座～。各就各～。

2.职位；地位：名～。

3.特指君主的地位：即～。在～。篡（cuàn）～。

4.一个数中每个数码所占的位置：个～。百～。十～数。

5.用于人（含敬意）：诸～。各～。家里来了几～客人…

（…衍、义、衍义：见《欧几里得25、26》…）

 

…单位（百度百科）：指机关、团体或属于一个机关、团体的各个部门；

指数学方面或物理方面计量事物的标准量的名称。一般有：米（m）、千米（km）等单位；

准确的说，单位就是将一定数量物质的集合规定为“1”，成为一个单位。

从广义上讲：单位是一个相对概念，其为事物坐标系中的坐标轴中能构成个体的抽象概念。事物的最小单位为零。

词义：1、机关、团体、事业单位、企业等非自然人的实体或其下属部门。

2、工薪阶层上班的地方，或者说人们获得自身生存需要、为养家糊口参与社会劳动的特定场所。

3、测量某个物理量时用来进行比较的标准量…

（…集、合、集合：见《欧几里得31》…

…相、对、相对：见《欧几里得69》…

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

…抽、象、抽象：见《欧几里得20、21》…

…事、物、事物：见《欧几里得21》…）

 

被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus（一般译为欧多克斯）的出现奇迹般地解决了这次危机。

…假、设、假设：见《欧几里得78》…

…命、题、命题：见《欧几里得70》…

…前、提、前提：见《欧几里得13》…

…欧多克斯：见《欧几里得102》…

 

今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。

 

 

单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。

 

希帕索斯认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。

…比：见《欧几里得27》…

 

中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到。这种感觉正如前文所说：直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。

…反证法：见《欧几里得72~75》…

 

当然，我们要证明的不是‘根号2是无理数’。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q，使得它的平方等于2。

…无、理、无理数：见《欧几里得27》…

 

证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p2=2q2（p的平方=2×q的平方），等式右边是偶数，于是p必须是偶数。（奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。）

…约分：见《欧几里得107》…

 

p是偶数的话，p²（p的平方）就可以被4整除。约掉等式右边的一个2，可以看出q²（q的平方）也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。

 

“你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？

请看下集《欧几里得117、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？》”

若不知晓历史，便看不清未来

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