欧几里得45、元、素、元素，数学符号和语言的关系，人类对“简洁”的喜爱

【戴德金分割】

假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B。A中的每一个元素都小于B中的每一个元素。任何一种分类方法称为有理数的一个分割。

…戴德金：德国数学家。见《欧几里得35》…

…集、合、集合：见《欧几里得31》…

…元：“元”在商代金文中写作图1。图1的金文实际上就是一个侧立的人形而突出强调其头部。它与甲骨文、金文的“人”字构形区别就在于突出代表头部的填实的圆点。它与金文的“天”字构形相似，所不同的是，“天”是正面而立的人形而突出强调其头部，以示其最高处。“元”与“天”二字的构形，仅仅是依靠人形正面而立与侧面而立的不同来分别指人的头部（首）与人的头顶（顶），这恐怕就只是一种习惯或者说“约定俗成”了。“元”的甲骨文写作图2、3，表示人的头部的圆实点虚化为一横，西周金文就甲骨文之形写成图4。“元”字的这种字形演变，与“天”字是一致的。至于后来，再上加一横，特指其头部所在，便是甲骨文、金文常见的各种“元”形了。再加一横之后的便成了“元”的基本结构，一直沿用至今，隶（lì）变时只是将侧立的人形变成“儿”而已。未加一横的字形隶变后就成“兀”，与“元”分立为二字。

始见于商代甲骨文及商代金文，其古字形像头部突出的侧立的人形，本义即人头。头位居人体最高处，而且功能非常重要，因此引申表示首要的、第一的。也用来表示天地万物的本源，含有根本的意思。“元”作为头的用法后来逐渐被“首”取代，“元”在语言使用当中更多的是使用它的引申义。此外，在现代汉语里，“元”还作为货币单位使用，它是人民币的基本单位之一。“元”也是中国古代的朝代名…

会意。从一，从兀。甲骨文字形。象人形。上面一横指明头的部位。上一短横是后加上去的，依汉字造字规律，顶端是一横的，其上可加一短横。本义：头…

（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…

…意：意思：来～…

…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）

…素：见《欧几里得24》…

…元素：代数中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。

几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。

化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素。

现代数学集合论中，元素是组成集的每个对象。集合由元素组成，组成集合的每个对象也称为元素…

“集合由元素组成，如集合{1，2，3}中，1、2、3都是集合的一个元素。”中学生说。

…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素：？？？…

“A中的元素可以用a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…表示，B中的元素可以用b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7…表示，”中学生说，“‘A中的每一个元素都小于B中的每一个元素’指的是，在‘a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…’这些元素中，随便挑一个元素，让它和B中的元素去比较，它必须小于B中的元素。”

“这里，‘B中的元素’，也是随便挑的。”中学生最后说。

【戴德金分割】2

对于任一分割，必有3种可能，其中有且只有1种成立。

【戴德金分割】3

分割的3种可能：

第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。

“这句话是什么意思呢？”中学生说，“我们细嚼慢咽的理解…”

“‘A有一个最大元素a’，怎么理解呢？”中学生接着说。

“‘最大’的英语单词是‘maximum’，”中学生继续说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…”

（“‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’。”中学生说。）

“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）。”中学生最后说。

“a（max）的写法是我发明的，”中学生说，“按说应该写的a大一点，max小一点。但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’。”

“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识，”另一位中学生说，“我们作为汉藏语系的人，将来要是有出息了，可以发明一些汉语符号，简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律。”

…

“即便我们发现新知识了，我们很可能还是用英文字母表示它们，”又一位中学生说，“因为英文字母更简洁。”

“人类都在用阿拉伯数字，而不是自己语言中的数字，也是这个道理。”中学生接着说。

…

“人类喜欢简洁。”中学生最后说。

“A有一个最大元素a，这个‘最大元素a’，可以写作‘a（max）’，”第一位中学生说，“B没有最小元素…”

“就是说，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理数，集合B包含所有大于a（max）的有理数，”中学生接着说，“例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。”

““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’，”中学生说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数。”

请看下集《欧几里得46、戴德金分割》”

若不知晓历史，便看不清未来

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