欧几里得46、戴德金分割

【戴德金分割】4

分割的3种可能：

第2种：B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数。

“数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的），”中学生说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”

“B有b（min），A没有最大元素，即：集合B包含b（min）及所有大于b（min）的有理数，集合A包含所有小于b（min）的有理数，”中学生接着说，“例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数。”

【戴德金分割】5

分割的3种可能：

第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。

“平方等于2的数是分界点，”中学生说。

“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数，”中学生接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得34》中已做过详细叙述。”

…

“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数。”中学生最后说。

【戴德金分割】6

A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然，集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有的有理数（因为平方等于2的数不是有理数）。

平方等于2的数不是有理数，但它又确确实实是一个数。

…

戴德金称第3种分割定义了一个无理数，或者简单的说，这个分割就是一个无理数。

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…无、无理数：见《欧几里得27》…

前面2个分割是有理数。

这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点。

数轴上的点，统称实数。

“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系。”戴德金说。

【戴德金分割】7

思考题：

假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。

…

戴德金分割的第4种可能：A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。

有没有这种可能？

思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。

有没有这种可能？

“这是不可能的。因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数：1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾。”中学生说。

【戴德金分割】8

“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’，”中学生说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数。”

“这样的话，这个分割，既不是有理数，也不是无理数，”中学生接着说，“这种分割不是一个数。”

“这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割。”中学生继续说。

“存在这样的分割吗？”中学生最后说，“其实，这样的分割是不存在的…”

“问题的关键点在于‘1.000…1’，”中学生说。

“‘1.000…1’是什么？”中学生接着说，“根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’。可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）。”

…前、提、前提：见《欧几里得13》…

“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’，”中学生继续说，“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它。”

‘比1稍大的有理数’，其实是无理数。”中学生最后说。

“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数。”中学生说。

“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得45》）。”中学生最后说。

“汇知园：我觉得这部分内容，包括上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的。

请看下集《欧几里得47、上确界、下确界这些东西，初中生是完全可以理解的》”

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