欧几里得90、西奥多罗斯的贡献：证明了3到17的非平方数的根是无理数

“被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机…最后，Eudoxus（一般译为欧多克斯）的出现奇迹般地解决了这次危机…”网友继续说。

“今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比…”网友最后说。

“单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长…”网友说，“Hippasus（一般译为希帕索斯）认为，不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2…”

“中学课程中安排了一段反证法…当时有个题目叫我们证根号2是无理数…当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到…这种感觉正如前文所说：直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明…”网友接着说。

“当然，我们要证明的不是‘根号2是无理数’。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q，使得它的平方等于2…”网友继续说。

“证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p²=2q²（p的平方=2×q的平方），等式右边是偶数，于是p必须是偶数…”网友最后说。

（“奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数…某个正整数的平方是偶数，那么这个正整数一定是偶数，没有其它可能…”一位中学生说。）

“p是偶数的话，p²（p的平方）就可以被4整除。约掉等式右边的一个2，可以看出q²（q的平方）也是偶数，即q是偶数…”网友说。

“这样，p是偶数，q也是偶数…那么p和q就还可以继续约分…与我们的假设矛盾…”网友接着说。

“根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？…”网友继续说。

“你可能偶尔看到过，Theodorus（通常译为西奥多罗斯）曾证明它们也是无理数。但Theodorus试图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了…”网友最后说。

…根：1.高等植物的营养器官，能够把植物固定在土地上，吸收土壤里的水分和溶解在水中的养分，有的根还能贮藏养料。2.事物的本原；人的出身底细：祸～。寻～。从～儿上解决问题。知～知底…

…平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…

“你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是‘证明了3到17的非平方数的根是无理数’。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？…”网友说。

…平方数（或称完全平方数）：指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，9是一个平方数…

““你可以在网上看到，Theodolites（通常译为西奥多罗斯）对数学的贡献之一就是‘证明了3到17的非平方数的根是无理数’。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？…”网友说。

请看下集《欧几里得91、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？》”