欧几里得91、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？

“你可以在网上看到，Theodolites（通常译为西奥多罗斯）对数学的贡献之一就是‘证明了3到17的非平方数的根是无理数’。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？…”网友说。

“一位俄国的数学历史家‘猜’到了原因…”网友接着说，“他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法（见《欧几里得91》）证明的…比如，要证明根号x不是有理数，于是设√x=p/q…得p²=xq²（p的平方=x·q的平方）…”

“我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数…”网友继续说。

…

x是奇数且p/q已经不能再约分（x、p、q是正整数），则p和q都是奇数。

证明如下：

设：q是偶数

 p²=xq²（p的平方=x·q的平方），偶数的平方是偶数

∴ q²（q的平方）是偶数

∴ xq²（x·q的平方）是偶数（正整数乘以偶数，结果还是偶数）

p²=xq²（p的平方=x·q的平方）

∴ p²（p的平方）是偶数

∴ p是偶数（正整数中，只有偶数的平方是偶数，没有其它可能）

∴ p、q都是偶数。

p、q都是偶数，这与“p/q已经不能再约分”矛盾。

“q是偶数”违反了矛盾律（见《欧几里得82》），根据人们对“错误”的定义（见《欧几里得82》），“q是偶数”是错的。

根据排中律（见《欧几里得80、81》），“q是偶数”是错的，那么它的反命题——q是奇数就是对的。

∴ q是奇数

∴ q²（q的平方）是奇数（奇数的平方是奇数）

x是奇数

∴ xq²（x·q的平方）是奇数（奇数乘以奇数结果还是奇数）

p²=xq²（p的平方=x·q的平方），xq²（x·q的平方）是奇数

∴ p是奇数（正整数中，只有奇数的平方是奇数，没有其它可能）

…

“一个奇数2n+1的平方应该等于4（n²+n）+1——4×（n的平方+n）+1，即8·n（n+1）/2 + 1…”网友最后说。

…奇数可以表示成2n+1（n为整数），见《欧几里得11》；（2n+1）的平方=（2n+1）×（2n+1）=4n的平方+2n+2n+1=4n的平方+4n+1=4（n的平方+n）+1=4n（n+1）+1= 8·n（n+1）/2 + 1

“其中n（n+1）/2肯定是一个整数…”网友说。

…

奇数2n+1的平方=8·n（n+1）/2 + 1，n（n+1）/2是一个整数。

证明：

 n，n+1为连续自然数

∴ n，n+1为一奇一偶

∴ n（n+1）是偶数（奇数乘以偶数得偶数）

∴ n（n+1）能被2整除

∴ n（n+1）/2是整数

…

“如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p²=xq²（p的平方=x·q的平方），有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1…”网友接着说。

…p=2k+1，q=2m+1，代入p²=xq²（p的平方=x·q的平方）得：（2k+1）²=x（2m+1）²（【2k+1】的平方=x·【2k+1】的平方）

（2k+1）²=x（2m+1）²两边化简：

4k²+4k+1=x（4m²+4m+1）

 8·k（k+1）/2 + 1=x[8·m（m+1）/2 + 1]

 8·k（k+1）/2 + 1=x·8·m（m+1）/2 + x

两边同时减1：

8·k（k+1）/2 =x·8·m（m+1）/2 + x-1

两边同时减x·8·m（m+1）/2 ：

8·k（k+1）/2-x·8·m（m+1）/2=x-1

提取公因式：

8[k（k+1）/2–x·m（m+1）/2]=x-1

“…

请看下集《欧几里得92、数学家西奥多罗斯能做到的，我们也能做到》”

若不知晓历史，便看不清未来

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