名  称

2.1古典概型的特征和概率计算公式

执笔者

阮联玉

时间

使用者

阮联玉

课型

新授课

教材分析

项目

  内容

设计意图

教

材

分

析

学

情

分

析

教

材

及学情分析

本节课是北师大版高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

    学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。

教学重点

理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，制订教学重点。

教学难点

基本事件概念的理解和如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

根据本节课的内容，即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定了教学难点。

教

学

目

标

1．知识与技能

(1)理解古典概型概念及其概率计算公式，

(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。 

3．情感态度与价值观

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

根据新课程标准，并结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订而成。这对激发学生学好数学概念，养成数学习惯，感受数学思想，提高数学能力起到了积极的作用。

教学环节

教   学   内    容

师生互动

设计意图

教

学

过

程

分

析

一

提

出

问

题

引

入

新

课

前一天，发给学生导学案，学生自主完成

教师抽查导学案，发现共性问题

在课上，由历史故事引出课题

100枚钱币落地后，正面朝上的概率到底有多大？

学生猜测结果结果，并与同学交流活动感受，同时加深巩固什么是概率

激发学生学习兴趣

培养学生运用数学语言的能力。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望。

二

思

考

交

流

形

成

概

念

通过实验一和二，探讨什么是基本事件？有何特征？

在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们不可能同时发生的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是；

在试验二中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是。

我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。

基本事件有如下的3个特点：

（1） 任何两个基本事件是不能同时发生的；（2）不可再拆分（3）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

再有两个问题巩固概念

特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”、“4点”和“6点”共同组成。

学生观察对比得出两个模拟试验的相同点和不同点，教师给出基本事件的概念，并对相关特点加以说明，加深新概念的理解。

让学生从问题的相同点和不同点中找出研究对象的对立统一面，这能培养学生分析问题的能力，同时也教会学生运 用对立统一的辩证唯物主义观点来分析问题的一种方法。

教师的注解可以使学生更好的把握问题的关键。

二

思

考

交

流

形

成

概

念

例1袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意摸2个小球，以下不是基本事件的是(　　)

A．正好摸到2个红球  B．正好摸到2个黑球C．正好摸到2个白球  D．至少摸到1个红球

巩固概念理解问题

跟踪训练1　连续抛掷2枚硬币，观察落地后这2枚硬币出现正面还是反面．

(1)写出这个试验的基本事件；(2)“一正一反”是基本事件吗？概率是多少？

试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；

试验二中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；

经概括总结后得到：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

思考交流：

（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。

（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？

答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。

先让学生尝试着列出所有的基本事件，教师再讲解用树状图列举问题的优点。

提醒编号的重要性

加强学生对列举法

让学生先观察对比，找出两个模拟试验和例1的共同特点，再概括总结得到的结论，教师最后补充说明。

学生互相交流，回答补充，教师归纳。

由于没有学习排列组合，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏。解决了求古典概型中基本事件总数这一难点。

通过用表格列出相同两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。

三

观

察

分

析

推

导

公

式

问题思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率如何计算？

分析：

试验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即

P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）

由概率的加法公式，得

P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1

因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝

即    试验二中，出现各个点的概率相等，即

P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）

反复利用概率的加法公式，我们有

P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”）＋P（“4点”）＋P（“5点”）＋P（“6点”）＝P（必然事件）＝1

所以P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）

＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）＝

进一步地，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，

P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6点”）＝＋＋＝＝

即     根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

提问：

（1）在例1的实验中，至少有红球的概率是多少？

提问：

（2）在使用古典概型的概率公式时，应该注意什么?

归纳：

在使用古典概型的概率公式时，应该注意：

（1）要判断该概率模型是不是古典概型；

（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

除了画树状图，还有什么方法求基本事件的个数呢？

教师提出问题，引导学生类比分析两个模拟试验和例1的概率，先通过用概率加法公式求出随机事件的概率，再对比概率结果，发现其中的联系。

教师提问，学生回答，加深对古典概型的概率计算公式的理解。

鼓励学生运用观察类比和从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义方法来分析问题，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性，突出了古典概型的概率计算公式这一重点。

深化对古典概型的概率计算公式的理解，也抓住了解决古典概型的概率计算的关键。

四

例

题

分

析

推

广

应

用

例2模仿教材中例1）有两个盒子，每个盒子里都装有标号分别为1,2,3,4的4张卡片，每次都随机地从两个盒子里各摸出一张卡片，记下卡片上的数字.

(1)随机地从两个盒子里各摸出一张卡片，记下卡片上的数字,共有多少种可能的结果，用表格列出所有可能的结果.

(2)记“摸出的两张卡片上数字之和等于5”为事件A,记“摸出的两张卡片上数字之和等于6”为事件B,求事件A发生的概率P(A)和事件B发生的概率P(B).

 强调书写的规范性  

思考：为何要对盒子编号？

跟踪训练2　甲乙两人玩出拳游戏（石头、剪刀、布）.求（1）甲赢的概率（2）两人平局的概率（3）乙赢的概率

学生模仿教材中例题先思考，教师对学生没有注意到的关键点加以说明。

先给出问题，再让学生完成，然后引导学生分析问题，发现解答中存在的问题。

引导学生用列表来列举试验中的基本事件的总数。

让学生明确概率的计算问题的关键是：先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。巩固学生对已学知识的掌握。

利用列表数形结合和分类讨论，深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解

教

法

与

学

法

分

析

五

探

究

思

考

巩

固

深

化

【当堂检测】

1.一只口袋里装有大小相同的5个小球，其中3个黄色的，2个黑色的，从中一次摸出两个小球，基本事件数有         个

2.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择了一个答案，则他答对的概率为        

3.两位好朋友在酒桌上玩老虎、杠子、鸡、虫子游戏（老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫子咬杠子，杠子打老虎），则俩人平局的概率为      

要求学生观察对比两种结果，找出问题产生的原因。

研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。

六

总

结

概

括

加

深

理解

1．我们将具有

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

2．古典概型计算任何事件的概率计算公式

3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表），应做到不重不漏。

学生小结归纳，不足的地方老师补充说明。

把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想。

七

布

置

作

业

    教材第134页习题2，3题

适当拓展延伸,1.先后抛掷3枚质地均匀的硬币，基本事件有哪些？2.上课前提到的问题，（抛掷100个钱币）答案是多少？是不是概率小就意味着不发生？

学生课后自主完成。

让学有余力的同学学会自我挑战，为下节课做准备

板

书

设

计

标题：古典概型

基本事件的特点：                古典概型计算公式：

古典概型的特点：

教

法

分

析

根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

学

法

分

析

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。