让数学思维过程看得见

王艳珍（数学）

看到杨澜的《一问一世界》我就在想，作为一名教师，我们的交流对象是学生，通过我们的问，应该让学生获得怎样的发展呢？怎样让数学思维过程看得见？俗话说的好，“不学不成，不问不知”，学起源于问，学总是和问紧紧相连的，我们让学生学会做学问，就是首先学会问。作为一名数学人，我认为应该通过我们的问，激发起学生更多的疑问，引导学生去探究“为什么”和“为什么这样做”？从而凸显出“数学是思维的体操”这一学科的特色，彰显数学的本质。

下面是我在执教的《圆锥的体积》中几个教学片断，本节课是在学生预习的基础上，本着先学后教，以学定教的理念教学的。

片断一：

对预习的检测（出示圆锥形铅锤）

师：如何知道这个铅锤的体积？

生：用一个圆柱形的量杯盛些水，然后把铅锤浸没在水里，水升高部分的体积就是铅锤的体积。（排水法）

师：你能运用到以前所学的知识，非常好！

生：测量出它的半径和高，根据圆锥的体积公式计算。

生：要求圆锥的体积，只要计算出与它等底等高圆柱的体积就可以了。

师：那圆锥的体积与它等底等高圆柱体积之间有什么联系？你会用字母公式表示圆锥的体积吗？板书：V锥=  sh。

师：V锥=   sh，“sh”算出来的是什么？

生：sh算出来的是圆柱的体积。

生：我给他补充，算出来的应该是和这个圆锥等底等高圆柱的体积。

师：大家都是把圆锥的体积转化成先求圆柱的体积。我们学过长方体、正方体的体积，为什么偏要选圆柱呢？（出示长方体、正方体、圆柱体模具）

生：因为圆柱、圆锥的底面都是圆。

生：侧面是曲面，它们都有相同地方，是有联系的。

师（追问）：为什么选等底等高的圆柱？不等底等高行吗？

生：等底等高的圆锥和圆柱之间联系更多，便于研究。

师：（举小白鼠的例子）说明要选用相似的物体做实验研究。

我的思考与观点：

在探索圆锥体积的计算公式时，一般教师都是直接告诉学生要比较等底等高的圆柱与圆锥，把圆锥体积的计算转化成圆柱体积的计算，部分学生对这一做法总是被动接受的。但这是学生的内心需求和迫切需要吗？如果不是，学生难免会问：问什么要用圆柱与圆锥进行试验对比？

课堂上通过质疑“我们学过长方体、正方体的体积，为什么偏要选圆柱？”（出示长方体、正方体、圆柱体模具）学生通过观察、对比发现：因为圆柱、圆锥的底面都是圆，侧面都是曲面，它们有相同的地方，是有联系的。

紧接着老师又追问“为什么选等底等高的圆柱？不等底等高行吗？”此时，学生的思维再一次被激活。这样的教学，不是就课讲课，而是教给学生一种学习、思考的方法，做实验选用相似的物体，便于研究、比较，不仅发散了学生的思维，而且对于学生一生的学习、生活都会有帮助，这不正是我们数学课应达到的目的吗？

片断二：

出示实验要求，先让同桌合作实验，然后汇报交流。

师（学生汇报中反问）：大家用的圆柱、圆锥，高矮、胖瘦、都不一样，为什么实验结果却一样呢？

生：我们做实验所用的圆柱、圆锥都是等底等高的。

师（追问）：等底等高的圆柱和圆锥体积之间有什么联系？

生：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的

生：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。

师（再次反问）：如果不等底等高，它们的体积之间还有这种关系吗？

生：没有，必须在等底等高的情况下才有这种关系。（生又拿出两个不等底等高的圆柱、圆锥当场实验验证。）

师（小结）：通过我们实验研究发现，在等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的  。

片断三：师生再次做实验。

将圆锥容器内盛满水倒入与它等底等高的圆柱容器内。

第一次倒水后如图：     

师：圆锥的体积变成了（水）的体积，水的高度与圆锥的高有什么关系？

生：水的高度是圆锥高度的  。

生：圆锥的高是水的高度的3倍。

 第二次倒水后如图：

师：现在你又看到了

什么？想到了什么？（同桌互说）

生：现在水的高度是圆锥高的  。

生：水的体积是圆锥体积的2倍。

生：圆柱中空余部分的体积就是圆锥的体积。

生：我发现圆柱比与它等底等高的圆锥体积大2倍。

 第三次倒水后如图：

师：你又想说些什么？

生（迫不及待地）：倒了3次，正好倒满了，说明圆柱体积是与它等底等高圆锥体积的三倍。

生：等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的  。

师：你说的真完整。大家很会学习，不仅会做实验，而且通过实验能够有许多的发现，这是最重要的。

我的思考与观点：

数学公式教学到底是教“形式化的定义”还是追求学生思维上的“真理解”？显然，我们应该追求的是后者。那么，什么是思维上的“真理解”呢？有的老师讲计算公式的推导，把实验仅作为点缀，把讲解作为重点，而本节课课，是把试验作为重点，让孩子们利用大大小小的圆柱、圆锥容器，充分动手操作，体验等底等高圆柱、圆锥体积之间的关系，让数学思维过程看得见。更重要的是边试验边质疑、提问、追问、反问，真正的思维基于“问题”，正如杜威所言：真正的思维源于某种疑惑、迷乱、或怀疑。“大家用的圆柱、圆锥，高矮、胖瘦、都不一样，为什么实验结果却一样呢？”“等底等高的圆柱和圆锥体积之间有什么联系？”“如果不等底等高，它们的体积之间还有这种关系吗？”只有这样追问、反问，数学问题情境的有效性才会彰显，数学公式才会在学生的头脑里不断经历“数学化”的过程，使学生更深刻的理解公式的含义。

教师的认识有多高，学生的发展就有多远，教师想多远 学生就能走多远，我认为带领学生经历了从现象到本质的探究过程。当学生理解了公式的含义后，师生共同再次做实验，每倒一次水，都有一个不同层次的问题，第一次倒水后，“圆锥的体积变成了（水）的体积，水的高度与圆锥的高有什么关系？”第二次倒水后“现在你又看到了什么？想到了什么？”第三次倒水后“你又想说些什么？”正是基于这种朴素与自然的提问，整个教学过程中师生的交流对话、思维活动如山川中的小溪流水：清新、流畅、毫无矫揉造作之势，用学生的话说，感觉上这节课就是“一种享受”。

“问题是数学的心脏”。我们数学老师应该给学生一个问题模式，让学生“知道怎样思维”，心中有“数”，“学”以致用！让学生掌握一种“非语言程序性知识”的思维，从而促使学生养成研究问题的良好意识。从教学中我们也感受到：提供有价值的问题，感受数学魅力，探索数学乐趣，促进学生的思维投入才是教学的关键，才能凸显数学的本质。

2022年3月