学习目标

1．会利用商的算术平方根的性质化简二次根式；(重点，难点)

2．掌握二次根式的除法法则，并会运用法则进行计算；(重点、难点)

3．掌握最简二次根式的概念，并会熟练运用．(重点)　　　　

教学过程

一、情境导入

计算下列各题，观察有什么规律？

(1)＝________； ＝________．

(2)＝________； ＝________．

________ ； ________ .

二、合作探究

探究点一：二次根式的除法

 计算：

(1)；　(2) ；　(3) ；

(4) ÷(－ )(a＞0，b>0)．

解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．

解：(1) ＝ ＝ ＝ ；

(2)＝ ＝ ＝ ；

(3)＝ ＝ ＝ ；

(4) ÷(－ )

＝×(－ ) ＝－ ＝－ .

方法总结：二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号；二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式；二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法；最后结果要化为最简二次根式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

探究点二：最简二次根式

 下列二次根式中，最简二次根式是(　　)

A.  B.

C.   D.

解析：A选项中含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项 中含有分母，不是最简二次根式；D选项中被开方数用提公因式法因式分解后得a²＋a²b＝a²(1＋b)含能开得尽方的因数a²，不是最简二次根式．故选B.

方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

探究点三：商的算术平方根的性质

【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值

 若 ＝ ，则a的取值范围是(　　)

A．a＜2  B．a≤2

C．0≤a＜2  D．a≥0

解析：根据题意得 解得0≤a＜2.故选C.

方法总结：运用商的算术平方根的性质： ＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．

【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式

 化简：

(1) ；

(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．

解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．

解：(1) ＝ ＝ ＝ ；

(2)＝ ＝ .

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点四：二次根式除法的应用

 已知某长方体的体积为30 cm³，长为 cm，宽为 cm，求长方体的高．

解析：因为“长方体的体积＝长×宽×高”，所以“高＝长方体的体积÷(长×宽)”，代入计算即可．

解：长方体的高为

30 ÷( × )＝30 ＝30 ＝ (cm)．

方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．

教学反思

二次根式的除法是建立在二次根式乘法的基础上，所以在学习中应侧重于引导学生利用与学习二次根式乘法相类似的方法学习，从而进一步降低学习难度，提高学习效率。