“数与代数部分的核心概念”解读

        高涛

如何发展符号意识：

（1）挖掘生活经验，体会符号必要性：

其实在学习之前，学生已积累了大量的符号经验，如℃、↑、○等。正是这些生活中的符号积累，最能激发学生在数学学习中创造性地使用符号，体会符号产生的必要性。

教学中，教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动。

如教学“找规律”时，课件出示：路边这排树有什么规律？生：是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。师：我们能不能想办法把这排小树的规律表示出来呢？这样，老师给了学生自主探索、实现自我的空间，他们有的摆，有的画，有的用数字表示，有的用拼音代替（生1：△□△□△□……；生2：●○●○●○……；生3：□■□■□■……；生4：121212……）多么富有个性的创造！这正是已有的符号观念在起作用，他们惊喜地发现自己也是一个“研究者、探索者、发现者”，体会符号给数学学习带来的无限乐趣。

（2）符号表示运算律、计算公式和数量关系：

①用字母表示运算定律。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。

（a＋b）＋c=a＋（b＋c）

由此看出，用字母表示运算定律比用文字叙述运算定律更简明、易记，也便于学生灵活运用。

②用字母表示计算公式。

以一道圆的题目为例。

已知圆的周长是25.12厘米，求它的面积？

r=4    d=  8 

c=πd=8π   

s=πr²=16π

这样做，会有三个好处，一是好记，二是好算，三是为圆柱打下基础。

也许，再解决简单问题时，我们还看不出它的优势，但随着问题的复杂化，符号的简单灵活的优势会愈加明显。

如下：圆柱底面周长25.12厘米，高5厘米，求圆柱的体积？

因此，我们在学习圆柱时，公式群就完善为：

r=4    d=  8    h= 5

c=πd=8π   

s=πr²=16π

v=sh=80π

另一种解法：

25.12÷3.14=8

8÷2=4

3.14×4×4=50.24

50.24×5=251.2

由于这部分的计算比较复杂，我告诉学生带着π参与计算，算最后结果时，再把π换成3.14。这样使计算变得相当简单。

③用字母表示数量关系。

如：路程=速度×时间。这个数量关系是小学学习最重要的数量关系之一。若每次都把数量关系用文字表示出来，实在是很麻烦。因此，用字母来表示这个数量关系，就显得非常必要。

用下面字母来表示这个数量关系：

S=vt

这样会有以下好处：

首先，简便。学生喜欢用。

其次，为正反比例学习打下良好基础。

比如，一道判断题：速度一定，路程和时间成正比例。（ ）

其实，我们可以将公式变形，得到s/t=v(一定)，很快判断出路程和时间这两个变量的比值一定，所以成正比例。

最后，为两个物体的相遇问题打下良好基础。

我们完全可以在相遇问题中用下面的用字母表示的数量关系：

V1 t ＋ V2 t = s

开始用时，我真的担心孩子们是否能理解其中的V1 V2 表示的意思。但后来发现学生完全理解它们不过表示两个不同物体的速度。看来，孩子们的潜力是大的，我们真的不能低估了。

纵观整个过程，将解决具体问题的思维操作转化为对符号的操作，有利于增强学生建立数学模型的意识，提高解决实际问题的能力，培养了学生的数学语言表达能力，通过对公式的变形，进一步深化了符号感。

3、推理能力

⑴《标准》中的推理能力主要是指：合情推理与演绎推理

合情推理主要是指归纳推理、类比推理。

归纳推理是从特殊到一般，类比推理是从特殊到特殊。

演绎推理的思维进程是从一般到特殊。他的基本形式是三段论。

比如：在学生已经掌握了整数四则运算后，在进行小数加法时，以0.5＋0.4为例，学生很容易想到根据整数加法5＋4=9，得到0.5＋0.4=0.9，实际这是一种类比的方式进行合情推理，当然我们还必须用演绎推理来验证。

孩子们想到的方法有：

第一种方法是结合具体问题情境，得到0.5元＋0.4元=5角＋4角=9角=0.9元；

第二种方法是根据之前学习的小数单位，得到0.5是5个0.1,0.4是4个0.1，所以它们的和是9个0.1，即0.9；

第三种方法是画的方法，如下

 

 

从某种意义上来说，我们平时说的演绎推理在计算教学中就是学生理解算理的过程。

因此，在推理的过程中，我们一般是按照下面步骤：

启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出结论。

通过演绎推理证明图形性质的过程

在传统数学教学中，往往重演绎，轻归纳、类比，只满足于证明现成结论，学生很少经历探索结论、提出猜想的活动过程。而在数学中发现结论往往比证明结论更重要。《标准》提出培养合情推理能力，对培养学生的创新意识提供了支撑。

⑵怎样培养学生的推理能力

①通过数与代数式、方程与不等式的计算来培养学生的演绎推理能力。

计算要依据一定的“规则”— — 公式、法则、推理律等。计算过程就是演绎推理的过程。

②通过探索规律来培养学生的合情推理能力。

发现规律的过程就是培养学生归纳能力，形成合情推理能力的过程。

③数学活动经验的积累有助于培养学生的数学推理能力。“操作学具学数学”有利于学生有动作思维→表象→抽象思维。因此在教学中，要组织学生实践操作，让学生参与推理的全过程，引导学生的思维由直观向抽象转化，使学生从个别特殊的事物中发现规律，进行归纳。

④通过日常生活培养数学推理能力。除了学校的教育教学活动以外，还有很多活动也能有效地发展学生的数学推理能力。例如，人们日常生活中经常需要作出判断和推理。所以，要进一步拓宽发展学生数学推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“数学”，有“数学推理”，养成善于观察、猜测、分析、归纳推理的好习惯。　

 

小学数学中推理思想的应用如下表。

思想方法	知识点	应用举例
不完全归纳法	找规律	找数列和图形的规律
	整数计算	四则计算法则的总结
	运算定律	加法交换律：a+b=b+a
		加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
		乘法交换律：ab=ba
		乘法结合律：(ab)c=a(bc)
		乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
	除法	商不变的规律
	分数	分数的基本性质
类比推理	整数读写法	亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比
	整数的运算	四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比
	小数的运算	整数的运算法则、顺序和定律推广到小数
	分数的运算	整数的运算顺序和运算定律推广到分数
	除法、分数和比	除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比
	问题解决	数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的类比
	鸡兔同笼	不同素材的鸡兔同笼问题的类比

4、模型思想

模型思想是此次修订标准新增的核心概念。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。

数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，

通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，

通过推理得到数学的发展，

然后通过模型建立数学与外部世界的联系

从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。

建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，而且它也是实现上述目的的基本途径。数学与外部世界的联系，是数学发展到今天在其自身的舞台上最精彩的表演。

下面我结合《比例应用题》具体的教学案例说明数学建模的一般步骤：

首先，“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。

这说明发现和提出问题是数学建模的起点。

比如两道比例的应用题：

（1）100千克黄豆可榨出13千克豆油，照这样计算，要榨出130千克豆油需要多少千克黄豆？

（2）100千克黄豆可榨出13千克豆油，照这样计算，130千克黄豆能榨出多少千克豆油？

我们先看第一道题。

经过分析，让学生明白：这里的黄豆、豆油是两个基本的量，它们之间的关系通过出油率来体现的。因此，我们认为这是两道典型的出油率问题。

这是从具体情境抽象数学问题的过程。

然后，“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。

在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。

经过第一步的分析，我们把问题聚焦在出油率上，因为它表示的是黄豆与豆油这两个数量之间的关系。

因此，我们得到数量关系为：豆油量=黄豆量×出油率。

当然，这道题的关键并不是让学生这样做：

13÷100=13％

130÷13％=1000千克。

而是，要提醒学生利用比例来解决这道题。

应引导学生，经过分析得到：本题中的黄豆和豆油都是变量，但是出油率是不变的。

豆油量=黄豆量×出油率

100     13      一定

？      130     一定

因此，豆油和黄豆成正比例。所以可以列方程得到:

解：设要榨出130千克豆油需要x千克黄豆。

13:100=130：x

我们更想让学生学会用第二种方法来解决这个问题。

一个重要原因是：方法一实际上用了两次数量关系，第一次是“豆油量=黄豆量×出油率”，第二次是它的变形“黄豆量=豆油量÷出油率”，对于学生来说，这种数量关系的变形掌握起来，比较难。若第一题和第二题放在一起，很多学生就无所适从了。

这是建立模型的过程。这个模型有两个方面的理解：

在数量关系中，两个量是变化的，一个量没有变，就可以用比例来解。这是一种内容层面的模型

2、豆油量=黄豆量×出油率

100     13      一定

？      130     一定

这是方法层面的模型。

最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。

经过第二步，我们让学生体会到，若在一个数量关系式中，有两个量是变的，有一个量是不变的，我们都可以用比例，列方程来解决问题的。

比如这两道题的同时出现，若成功建立了此类比例应用题的模型，那么这两道题之间不是混淆的，而是融会贯通的。因为，第二题完全满足我们刚刚建立的数学模型。原来的方程为：13:100=130：x

现在的方程为：13:100=x：130

小学数学中的模型如下表。

知识领域	知识点	应用举例
数与代数	数的表示	自然数列：0,1,2,…
		用数轴表示数
	数的运算	a+b=c  c－a =b, c－b＝a a×b＝c(a≠0,b≠0) c÷a=b, c÷b＝a
	运算定律	加法交换律：a+b=b+a
		加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
		乘法交换律：ab=ba
		乘法结合律：(ab)c=a(bc)
		乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
	方程	ax+b=c
	数量关系	时间、速度和路程：s=vt
		数量、单价和总价：a=np
		正比例关系：y/x=k
		反比例关系：xy=k
		用表格表示数量间的关系
		用图象表示数量间的关系

以上是我对数与代数部分核心概念的粗浅理解，由于能力有限，难免出现疏漏，请各位老师批评指正。