人教版小学数学教材增加了一个全新的单元——“数学广角”。“数学广角”以渗透基本数学思想方法，培养学生分析、解决问题的能力为目标。本单元的内容来源于学生熟悉的生活事例，以学生喜闻乐见的形式呈现，学生比较喜欢这一单元。学生在这一单元的学习中得到的不仅仅是数学知识和解决问题的方法，而是数学的思想方法和分析、解决问题的能力。本文以四年级下册“数学广角”中的“植树问题”为例，从“教什么”与“怎么教”的角度探讨“数学广角”的教学。

“植树问题”主要是向学生渗透有关植树问题的一些思想方法 。教材一共安排3个例题 ，例l和例2是探讨在一条线段上植树的问题的3种情况。（1）只栽一端 ：棵树=间隔数；（2）两端都栽：棵树=间隔数+1；（3）两端都不栽：棵树=间隔数-1。例3则是探讨在封闭曲线(方阵)上 植树的问题。这3个例题中普遍感觉例3的教学困难比较多，因为例3的素材比较特别，它以探讨围棋盘的棋子个数问题呈现，但教材仅用直观的方式来解决这个问题，并没有呈现关于封闭图形植树问题的规律。我在第一次解读教材时感到有些迷茫，觉得难以将例3 与植树问题联系起来，也不知到底要不要联系植树问题。因此，解决“教什么”在本节课就显得由为重要。后来经过反复的研读才明白，其实，在植树问题中“植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如正方形、长方形或圆形等等。例3，就是借助围棋盘来探讨封闭曲线(方阵)中的植树问题。通过这些生活中的事例，让学生初步体会解决植树问题的思想方法以及这种方法在解决实际问题中的应用，同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。这就是本节课的“教什么”。

明确了要“教什么”，接下来要确定教法，即“怎么教”。上学期，在我校开展的“关上片区组教学研讨与交流”活动中，我有幸执教了“植树问题”例3一课。在多次试讲中，在全体数学教师帮助下和专家的引领下我对例3进行了反复研究，结果发现 ：如果完全停留在“方阵问题 ”的层面上进行教学，学生仅仅是学会了求棋子的个数，得到的主要是一种解题方法而已 。如果用研究植树问题的思路来探讨例3，使学生经历猜想、实验、验证、推理等数学探索的过程，引导学生在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。就能在解决问题的过程中获得更多的数学思想方法。因此我们认为 ：将方阵问题与植树问题有机的结合起来进行研究，就可以达到“数学广角”的教学目标。即：通过生活中的事例，培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力，初步体会解决植树问题的思想方法，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。通过一系列具有挑战性的问题引领，在3次小组活动中，学生经过操作、讨论、思考、分析、归纳等过程，经历了知识形成的过程，发现了封闭图形中植树问题的规律。下面是我对这节课主要的教学环节进行的粗浅解析。

一、复习导入，引出课题题

师：在前面的学习中我们一起研究了“植树中的数学问题”。那么，植树问题中有几种情况？

师：今天我们继续来研究植树问题？（板书课题）

【评析：通过复习勾起学生对旧知的回忆，为后面的探究活动做好铺垫，直接入题，让学生明白学习内容。】

二、在图式结合中感悟规律

1、提出问题，激发探究。

（1）课件出示5×5的方格纸，提出问题。

问：最外层每条边可以栽5棵树，最外层一共可以栽多少棵树？

（生习惯性的会回答：4×5=20）

问：为什么这样列式？

如果学生直接说出：应该是16棵，4个角上的算重复了。

师：那么到底是20棵还是16棵呢？咱们用棋子代替树来摆摆看！

（2）小组操作活动

师：请各小组数出20个棋子，在你们的方格纸上摆摆看，注意：棋子要摆在交点上。

（3）汇报

师：摆完后出现了什么情况？（棋子剩了4个）

师：真的是16棵呀！看来刚才这位同学说的是对的。这就奇怪了，5乘4等于20，没错呀！问题到底出在哪呢？

【评析：教材原例题是 ：“围棋盘 的最外层每边能放19个棋子。 最外层一共可以摆放多少个棋子?”我将“每边能放19个棋子”这一条件改成5个，为的是节省操作的时间。此环节的设计是让学生在经过计算、操作之后发现，计算与操作的结果不一样。这里我有意识的创造“差错”，给学生设计了一个美丽的“陷阱”，激起学生的第一次思维碰撞，巧妙地将学生的关注点集中到多出的“4颗棋子上”，有效地引导学生向正确的方向思考，此时学生才真正进入到用心思的考状态，学习的兴趣也随之背调动起来。】

2、提出问题，合作探究

（1）探究正确的算法

师：4个角上的棋子算重了，看来这个问题不是那么简单。不过，既然咱们找到了错误的原因，那就一定能找到正确的计算方法？谁来说说看？（边说边贴出4个角上摆了白色棋子，其它位置白了黑色棋子的图片）

生：5×4－4

师：你能说说算式的含义吗？（强调：为什么要减4）

（2）小组合作，探究其它计算方法，尝试用黑白两色棋子摆摆看。

师：那么同学们能否找到新的方法，使角上的不会被重复计算呢？请各小组继续研究。

（3）小组活动，师参与学生的讨论。

（4）汇报交流：各小组派代表上台用黑白两色磁铁摆出各自的图示，并列出相应的算式。算法的解读与相应的图式相结合。

可能出现的方法：

方法一： 3×4 + 4（先不算端点，最后再加上4个端点）

方法二：5 ×2 + 3×2（上下两边算2个端点，左右两边不算端点）

方法三：（5-1）×4 （每边都只算1个端点 ）            

 方法四：5×5 + 3×3（满盘棋子的总数减去除最外层里边的棋子总数）

【评析：此环节引导学生在解决问题的分析、思考、探索过程，逐步发现隐含的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。教材这里没有给出解决关于封闭图形植树问题的规律，而是用这种直观的方式呈现了两种解决问题的方法，体现了不同的学生在数学学习上有不同的发展。我在这里大胆放手让学生自己探索寻求不同的方法，成分发掘学生的潜能。实践证明：在每一次试讲及正式上课的不同班级，学生都表现得非常的积极，除方法4外的其他几种算法都能找到，另外还会出现很多种规律性不是很明显的方法。此外，利用图示与算法的结合的方法展示探究结果，使数形有机结合，能有效地帮助学生理解算法。至此 ，学生已经用直观的方法解决了问题，但本节课可以挖掘的内容不止这些， 因此我选择了引导学生继续探究 。】

3、拓展验证。

（1）出示： 做一做第2题：要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，可以怎样摆放？最少需要几盆花？

师：如果把四边形换成五边形水池，你还能解决吗？

读题——各自列式——汇报（说清理由）

（2）汇报，课件演示。

师追问：如果是三角形呢？六边形呢？七边形呢?......n变形呢？

【评析 ：由正方形拓展到其他封闭图形，老师又提出一个充满挑战性的问题，第二次激起学生的思维碰撞。而学生则像一个个小研究员，通过猜测 、画图、验证 、思考 、归纳总结出蕴含在不同形状的封闭图形中的共同规律。学生经历了知识形成的过程，在体验成功的快乐中学到了知识，数学思想得到了提升。】

4、分组合作研究发现封闭图形中点数与间隔数的关系。

（1）分小组活动：

师：同学们，正方形和五边形都是有一个共同的特点？他们各边首尾相连围成一个…….？(生：封闭图形)

师：封闭图形还有很多，在这些封闭图形的边上植树是否有什么规律呢？

活动要求：在图形的边上，按一定的距离摆放任意多的棋子，然后数数棋子有几颗，间隔有几个？

生拿出老师课前发的各不相同的图形（圆形和各种多边形），开始活动。

（2）汇报，师根据汇报填表格

（3）引导得出结论并板书：封闭曲线      点数 = 间隔数

师说明：这个规律不光在植树问题中有，在其它问题也存在，所以我们把它说成点数。

【 评析 ：第三次向学生的思维发起冲击，学生又一次在具有挑战性的问题引领下，通过操作、归纳，发现了封闭图形上的植树问题的规律。数学是思维的体操，数学的学习需要思考。好的教学要让学生主动探索，让学生在思考的过程中发展。在探索与思考的过程中，问题的引领尤为重要。“跳起来摘果子”才更有味道，提出具有挑战性的问题，既能激起学生思维的碰撞，又能让学生经过思考得到解决。在加上有效地活动，为学生创设思考和探究的空间，不仅能使学生的探究能力、分析问题、解决问题的能力得到提升，还能使学生的潜能得以充分发掘。】

后记：

要想上好一节成功的“数学广角”课，我想首先是要给“数学广角”一个准确的定位。即：准确的把握“教什么”“怎么教”。

数学知识是无限的，基本方法却是有限的。其实，植树问题只是一个载体 ，一个提高学生解决问题能力的载体。通过解决这一个问题，希望给学生留下的东西：不只是公式、模型、规律，而更多的是研究问题的意识、寻找公式的方法、解决问题的策略 … …这应该就是“数学广角”的数学本质吧！

(昆明官渡区余亚莲)