顺序

前言

通常我们都认为数数是很容易的，但仔细思考一下会发现，其实并非那么简单。在英语中，棒球的一垒叫做“first”，二垒叫做“second”，三垒叫做“third”。发射人造卫星时，会按照由大到小的顺序，从十、九、八倒数到三、二、一，然后再说“发射”。还有，对于日期，我们觉得12月1日的英文应写做“the one of December”，但实际上，正确的表达应该是“the first of December”。第一天、第二天、第三天不是one、two、three，而是first、second、third。第四是fourth，第五是fifth，以此类推。

在我们的日常用语中，“第三天”和“三天”虽然仅相差一个字，但就像英语中的third和three一样，是完全不同的两个词。两者间的区别在于：

第三天—表示顺序—序数

三天—表示量—基数

本章要让大家思考和认识的就是序数，即表示顺序的数。当然，这里我也想在思考序数的同时，让与之对应的基数的概念变得更加清晰。虽然大家都知道数的这两种特性，但考虑到它的基础性和重要性，在此我还想和大家作进一步的探讨。

自然数

妈妈让孩子进浴盆洗澡的时候，通常会说：“数到30你再出来哦！”孩子们便1、2、3、4地数着。像这样，从1开始，一个一个加上去，并且同一个数不会重复出现，这样的一些数的集合就叫自然数。（按照规定，0也属于自然数。）

一一对应

最近经常听到“一一对应”这个词，这是一位名叫格奥尔格·康托尔的德国数学家以集合论为背景提出的概念，我们一般常在比较两个事物的时候用到它。

比如，现在要比较孩子A和孩子B谁手里的玻璃球更多。这时，每人依次拿出一个，将彼此的玻璃球一个一个对应着排起来，看最后谁的手里还有剩余，谁的玻璃球就多。这就是一一对应。一般来说，比较是在玻璃球和玻璃球、人和人等性质相同的事物间进行的，但用一一对应的方法，就可以把人和椅子、椅子和桌子，以及人和星星等性质完全不同的东西放在一起进行比较。这种方法不能用来比较甜度、硬度等看不见的性质，它是将某种具体的物体抽象成毫无个性色彩的数字再来比较多少。

将这种想法延伸开去，比如在运动会的投篮比赛中，若仅仅想判定哪方获胜，即哪方投进的球多，可以不做“1、2、3”的唱数，只要“球、球、球”地喊出来就行。但是，如果想知道到底投进去多少个，那就必须来数一数。

然而，想要比较东京的孩子A和大阪的孩子B谁的玻璃球更多时，就会发现无法放在一起做一一对应了。

基数

这种情况下，就要与自然数做一一对应了。把要数的物品和自然数一一对应，对应结束时，如果得出的自然数为5，就可以确认其数量为5，这种方法我们称为“数数”。而所谓的基数，如图所示，是将这一数量用“5”来表示。虽然这样解释有点嗦，但如果重新回头看看“数数”这个过程，就会注意到“数数”就是在进行一一对应这种完全原始的操作。一一对应这种思考方式过于基础和原始，因此没有必要勉强灌输给孩子。在数量有限的情况下，一一对应似乎用处不大，但是一旦涉及集合论中“无限”的概念时，一一对应这种思考方式就会迸发出威力来。

序数

另一方面，同样的数，有时候只表示顺序，而非“量”。比如年月日等日期的表示、书的页码、旅店的房间号、邮政编码，等等，这样的例子还有很多。这是一种方便地辨别相应对象的手段—给对象做记号从而区别其位置。有些旅馆的房间常以“樱”、“松”等字命名，这并不是说名为“樱”的房间里就有樱花的芳香，名为“松”的房间里就有松树的味道，它只是一个昵称。命名的方式还有很多，使用英文字母“A、B、C”也可以，但如果需要命名的事物太多，这种方法就不那么好用了，比如Q在哪个字母旁边，很难马上想出来。这种情况下，就可以利用无限多的自然数作为序数来为物体命名、起昵称。作为序数的5，表示的只是位置，与“量”无关。用自然数来表示位置，确实比A、B、C或甲、乙、丙要方便得多。由于使用起来方便，一些像居民身份证号码之类的东西也采用了这一方式。

对于扑克牌中的黑桃5，是表示黑桃的“量”为5个。但是像本章前面所讲的那样，如果把它排在第3个，那么它既是5也是3。这听起来或许有些混乱，但本章的意图就是为了让大家在这种混乱中弄清基数和序数的差别。

“数数主义”

基数和序数理应明确地加以区分，但是就像书的页码一样，序数有时也可以兼具量和顺序这两种功能。由于国家、文化的差异，或者因使用者个人倾向不同，二者有时会被混同，或是只有其中之一能得到重视。日本在明治时期及之后很长一段时间内，一直过于重视数数主义，即强调序数，而忽略了“量”的重要性。现在人们已经开始认识并反省这一点，也逐渐认可了数学教育从基数入手的重要性，而这本来就是理所应当的。

刚才提到了“或者因使用者个人倾向不同”，因为我本人是那类一提到“数”就会想到“量”的人，所以我担心自己有轻视序数的倾向，需要提高警惕，这也可以说是我创作此绘本的原因之一。有时候，我甚至怀疑以序数入手的数学教育是否真的存在，但从前确实有过这样的情况。（不，准确地说，直到今天也还有人以序数为中心。）

“我的孩子能从1数到10万，我在想要不要让他参加电视上的奇人奇事节目呢。”像这样自作聪明的母亲不在少数。即使孩子能数到10万，也只能证明他很有耐力，和数学学习一点关系也没有。

然而，糟糕的是，这种数数主义可以应用在加法和减法的计算上。比如要计算16加3，就伸出3根手指，边数着17、18、19，边将手指一个一个地往下掰。等掰完了，答案“19”就出来了。这种做法就是“数数加法”。但这样即使得出了正确的答案，思考方法也是完全错误的。如果要用这种“数数加法”来计算类似“62+86”这种题目时，会出现什么情况，不说大家也想象得到。

不过如果就此认为序数的重要性比不上基数，那也是错误的。这就好比人们的性格，虽然千差万别，但是不能说孰优孰劣，性格本身并不具有可比性。序数自有它的用处，比如电话号码、汽车牌照、列车座位号等，它们的身影活跃在许多场合，当然也活跃在数学里，比如坐标、数列等。数学中少不了序数，我们需要根据序数、基数的特性加以区别、灵活运用。计算机领域也必须依赖序数才能进行运算，才能巧妙地将所想的事情解决。

补充

本节可以用在加法、减法的计算上，不过在这里只讲解顺序问题，请不要把它用于基数的运算。例如 “从第2张牌到第8张牌共有几张”这样的问题，容易让孩子产生混乱。还有像“从左数第3张牌开始再朝右数的第3张牌是什么”之类的应用型问题，也最好避免。这样的话，就跟我刚才提到过的“数数加法”差不多了，对此，我并不抱赞成态度。顺便再说明一下，

A 从第3张牌开始数的第3张牌，是从头开始数的第几张牌？

B 手里有3张牌，再拿3张牌，一共有几张牌？

A和B都是加法问题，但性质却不同，区别在于一个是序数的加法，一个是基数的加法。对于这一点，只要教的人清楚就可以了，对于孩子们来说，没有必要教给他们这两种加法性质上的差别。

从教育的难易度上来说，加法教学如果从基数的加法开始讲，能获得较好的结果，这已是被实验证明过的。

本书第57页有一栋扑克牌的住宅楼，背面是答案。看的时候，正面的右边是背面的左边，这也是容易让孩子们产生困惑的地方。可是恰恰从这种困惑中，孩子们可以逐渐掌握左和右、里和外等位置关系。为了便于孩子理解和思考这页内容，可以把书如上图所示立起来看，应该会比平放着看更清楚，更利于思考。

                                                          （安野光雅）