四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若其顶角相等，证明四点共圆．

已知∠BAC=∠BDC，求证：点A、B、C、D四点共圆

反证法：

     作△ABC的外接圆⊙O，假设∠BAC=∠D，点D不在⊙O上

（1）当点D在⊙O外，设BD与⊙O交于点E

     ∵∠BAC和∠BEC都是弧AB所对应的的圆周角

     ∴∠BAC=∠BEC

     ∵∠BEC是△DEC的外角

     ∴∠BEC＞∠D

     ∴∠BAC＞∠D这与已知∠BAC=∠D矛盾

     ∴点D在⊙O上

（2）当点D在⊙O内，设BD与⊙O交于点F，假设∠BAC=∠F

     ∵∠BAC和∠BFC都是弧AB所对应的的圆周角

     ∴∠BAC=∠BFC

     ∵∠BDC是△DFC的外角

     ∴∠BDC＞∠BFC

     ∴∠BDC＞∠BAC 这与∠BAC=∠F矛盾

     ∴综合（1）（2）可知点A、B、C、D四点共圆

 【总结】：证明四点共圆的方法 

  思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。 适当运用反证法

  思路二：四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．

【四点共圆其它定理或者结论】http://blog.sina.com.cn/s/blog_673b31580101hbfx.html