郭鹏：2019年5月19日 

梁飞在荷兰的导师Alessandra Palmigiano这两周来学院做一个题为‘Logical Foundations for Categorization Theory’系列讲座。前天晚上在研磨记忆咖啡与她进行座谈，苏庆辉，李鸣鹤与荣立武都在座。梁飞事先就鼓励我们说，如果我们有什么模型可以提出来，他们愿意帮助我们逻辑化。这对于我是一个难得的机会，因为模糊性的问题，在我看来，目前为止逻辑学家处理的只是其中的一种情况，或者问题的一个方面，即精确性问题或确立模糊性概念的边界问题，而模糊性所展示的其他两个问题并没有触及，或者至少还没有受到足够的重视。

将概念理解为有清晰边界的思想就仿佛是有木板分隔的衣橱，其中的隔板（边界）是不可变动的，每个小空间里面装的东西都是一类，比如，一个放裙子，一个放裤子，但是遇到borderline cases（骑墙例子），比如裙裤，就成为了一个问题，因为哪一类也不适合。可是，如果我们进行一下“衣柜革命”，即将它设计成用挂衣杆而不是隔板，我们就可以将裙裤没有丝毫困难地放在裙子与裤子中间，这样的分类法是灵活的，且是不受已有概念限制的。

骑墙例子只是模糊性的一种表达方式，并且骑墙例子的出现与我们对于模糊性的表征是相关的，即只有当我们把概念理解为必须是有清晰边界时，骑墙例子才会出现。在我看来，Mark Sainsbury的贡献就是让我们注意到了这一点是错误的，即并不是所有概念都是有清晰边界的，模糊性其实有两种情况，一种是这个边界不够清晰，一种是根本不存在这样的边界，这是两个不同的问题。对于前者，我们可以争论，究竟一个清晰的边界是否是可能的，如果它是可能的，那只是如何或者在哪里设立的问题；如果这种绝对清晰性是不可能的，即精确性本身是无限的，那么我们可以考虑是由于认知的有限性（Timothy Williamson），还是由于世界本来如此，所以我们对它的表征也是如此（Nick Zangwill）。对于后者，即无边界概念，讨论其边界就是没有意义的。（如果孤立地设想一个没有边界的概念是困难的，那么我们考虑成对概念，比如高与低；或者连续概念，比如，大、中、小。）

对于目前在“模糊性”这一范畴下面所讨论的问题，我们需要先对它进行一下分类，然后才有可能进一步针对每一种情况进行更细致的分析。否则，一种模型化的努力很有可能因为不适用于另外一种情况而受到怀疑或者摒弃。

根据这样的思路，我将模糊性问题分为三大类：

1。待切蛋糕问题：只要是出于实践的需要，那些 所谓的模糊的概念边界不仅是可以被清晰划出来的，甚至可以是非常武断地画出来的，而不需要除了实践需要之外的其他理由。比如，秃头悖论或堆垛悖论。在这里，头发的根数与谷粒的数目是可以确定的。无论边界放在哪里，都不会出现骑墙的具体的例子。其他连锁悖论，只要相邻个体间是可区分的，就可以归为这一类。只要切，蛋糕总是可以被切开的。

2。精确度问题：分界问题涉及界限的精确度问题，但是分界问题并不是精确性问题。在严格意义上讲，只有与测量或度量的精确性相对的概念才是模糊性，而1中的划界问题并不是。也只有这一类问题才涉及人类认识的能力，即可以把它归为认知的一类。我们有一个简单的判断方法：即，新的度量工具的发明在降低这一类模糊性上是有用的——从理论上讲，这一类的模糊性是不能被绝对消除或克服的。目前三值逻辑或者多值逻辑其实都是在这个方向上努力。

3。芝诺悖论式问题：芝诺所构造的一系列悖论的共同特点说是如何理解连续性（运动，时间与空间），芝诺悖论产生的原因可以归为他试图用可分割性去刻画连续性，这本身就是一个矛盾。对环形光谱上的色彩间的过渡以及成对概念间的过渡就属于这类问题。成对出现的概念，由于彼此的对照才有各自的意义，比如，高-矮，胖-瘦，长-短，都属于这一类，它们之间并不存在一个清晰的界限，它们本身的意义也是相对的。这一类概念是无边界概念。

以上三种情况，第一种情况，常常是是出于人们在交流上的概念灵活性要求，这个边界常常不需要给出，即它是不必要的；如果一定要，它不是不可能的，而是可以任意武断地给出或者跟据某种需要划出来。也就是说，对于第一类问题，由于实践当中对于交流效率上的要求，概念本身使用的灵活性是必需的，无边界概念或边界模糊的概念因此就成为必需的，也就是说，这些概念被做成清晰边界的概念不是不可能，而是不需要。第二种情况是不可克服的，因为对于测量而言，精确度是无限的，这是一个只能改进但是无法被克服的难题。因此，如果模型化可以使我们更便捷、更简单地刻画它或者处理它，只有第三种情况需要如此。

以集中了世界上所有可能的颜色的封闭的圆形光谱为例，这一类模糊性问题有这样几个特点： 1） 这是一个连续体，其中的成员（颜色）其实是不可数的，或者说分为多少成员完全可以是武断的，因此多少都可以；2） 可以对任意区间的颜色进行单独命名，也可以依据它与其他颜色相比较来命名，如果用坐标系来表示，任何圆形光谱一点都可以平等地作为原点来建立一个坐标系，其他点以相对与他的位置来赋值；3）为了简便起见，我们忽略同一种颜色的色差，而只考虑一个环形光谱，如果以数轴来看它， 这是一个表达了实数概念的数轴（感谢梁飞指出了这一点）——任何两个相邻（颜色）数中间的（颜色）数都有无限多，任何两个相邻颜色之间的分界线都可以被无限精确化，即它就是一个无限数，它同样也都是数轴上的某一点；前者就是连续性问题，后者就又回到了第二类问题上，即精确度问题——只有分割与精确度相关，连续性与精确度无关。

如果我真的将自己的意思表达清楚了，接下来的事情就是如何将芝诺悖论型的”模糊性问题“（环开光谱可以理解为无边界概念问题的集大成者，它其实是世界本身的连续性与概念的片断性相结合的问题）以实数的模型为参照用逻辑语言表达出来。