2.1.2、世界数学史

英国数学史家斯科特在《数学史》^p1-9说，上古时期最重要的要算亚述人、巴比伦人、埃及人和腓尼基人了。大约5000年，落户在底格里斯——幼发拉底河谷美索不达米亚——苏美尔人，居住在波斯湾的旅行与商贸必经之路，从实物交易中产生计数和加减法以及度量衡方面的基本运算，如催促了数学的发展。1858年考古学家发现了“莱登纸草”，涉及几何级数和代数一次方程和类似的二次方程知识，体现古埃及的数学应用。

然而，希腊人在数学方面比巴比伦人、埃及人更进步，公元前6世纪希腊文化带到了西方，西西里岛变成学术的新中心，毕达哥拉斯就已经在意大利南部克劳登建立了学派。毕达哥拉斯学派与算术、几何有着密切联系，它的根据是堆成各种形状的河卵石或石头，表达三角形、正方形等等，起始于n个自然数的和，即(1/2)n(n-1)为三角形数，n个奇数之和1+3+5+7+…+(2n-1)为正方形，一个点有大小，积点成线，积线成面。他们利用这些性质证明三角形内角之和180度。

欧几里得《几何原本》大多数是关于直线与面积之间关系，他们对于圆的几何并无多大兴趣，他们对于数学的发展主要贡献是给与数学以演绎特征。另一个学派帕拉图的《共和国》，确定构成直角三角形以数字(n²-1),(2n),(n²+1)表示三条线构成。认为打开宇宙之迷是数和形。欧几里得试图根据这些定义、公理、公设，以绝对严谨方法建立起几何学知识大厦。

阿基米德被称为古代数学家，在力学方面建立了某些基本原理，并且在流体静力学这门学科上进行了开端工作。提出了球和圆柱、圆的度量。阿普罗尼亚斯用笛卡尔坐标表示了抛物线、双曲线、椭圆。托密勒是一位伟大的天文学家，在《天文集》以三角学最早的系统论述。托密勒逝世之后，派帕斯在《数学集》对立体几何、高次平面曲线和等圆周问题做了详尽处理以及对于力学的贡献。与派帕斯同时代的狄奧芬塔斯的《算术》在代数方面创造了一个新分攴，成为代数数论最早的论者，如“把一个平方数分解为二个平方数”。以后由于战乱和教会的兴隆，数学进入黑暗时期。

13世纪，中国的数学10进制通过商贸传到印度，到达阿拉伯国家，再传到欧洲，被称为阿拉伯数字，以及小数点的操作，西方国家在小数和纳披尔对数的基础上，17世纪60-70年代，以牛顿-莱布尼茨为代表的微积分和牛顿二项式和《自然哲学的数学原理》（1687），建立了数学分析专门学科。经过欧拉（1703-1783）研究，提出数论和方程式，有《分析力学》、《关于方程的代数解法研究》（1771）、《试论解任意次数的方程》（1798-1808）《行星和慧星的运动理论》（1744）。马克劳林有力地支持牛顿，驳斥了贝克莱尔大主教的攻击，提出了著名的马克劳林级数定理（1742）。拉格朗日也以《分析力学》（1788）、《解析函数论》（1797）达到了动力学学科的高峰，把固体力学和流体力学这二个分支统一起来，以致后面100多年时间力学分析都不能摆脱他的作用和影响。

16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创立了解析几何，将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程与三角函数。而其后更发展出更加精微的微积分。

拉普拉斯也是一位分析大师，把分析学应用到天体力学问题上获得骄人的效果，1773年提出行星移动不变性，确立太阳系的稳定性第一步。《天体力学》与都能够与拉格朗日的《分析力学》媲美的著作。同时代的数学家勒让得提出了著名的《椭圆函数论》（1830），导致变分学的建立。

法国数学家柯西是另一个值得注意人物，他在函数论（特别擅长这个数学分支）、微分方程、概率论、变分法，以及微积分在天文学和物理学问题上的应用。其《分析教程》的主要特点是对于级数作了严谨的论述，强调了确定收敛性的必要及检验方法，如《关于级数的收敛（1839）》一直到今天还在应用。精心证明了代数基本定理，，即每个任意系数（实数或复数）的方程至少有一个形似(a+bi)的根。这个证明在高斯1799年证明过。这段时期之后，法国数学学派经历了衰微期。

18世纪的数学家非常爱好分析方法，但是人们开始探索笛卡尔和德扎尔格的射影方法，其中有蒙日《应用于几何学的代数》（1805），《应用于一次和二次的几何学的分析》（1819），《静力学引论》（1788），成为近代几何的开端。L.N.M.卡诺(1753-1823)在《位置几何》（1803）开辟了全新的园地，试图证明射影几何并不亚于笛卡尔方法。J.V.庞赛莱（1788-1867）避开了分析方法，给纯几何方法注入新的生命力。在《论几何图形的投影性质》（1822）指出：平面图形的一些性质在投影时虽然有所变化，还其他的性质保持不变。导出几何图形，自由地使用“射影和对偶”。罗巴切夫斯基（1793-1856）提出非欧度量空间。黎曼研究导致有三种不同几何学：分别为：

（1）、一条平行线：欧几里得几何空间。

（2）、一条都做不出：椭圆型几何空间。

（3）、一束平行线：双曲型几何空间。

德国数学家高斯是这个时期最伟大的数学家，他主要兴趣在数论方面，《算术研究》，讨论了二元二次方程，，推广到三元二次方程，提出“同余式”、“最小二乘法”等理论。开启了数论领域的一个活动时期，激励了爱森斯坦、库麦尔、狄德金、克罗内克等一批数论数学家。

20世纪中叶，数学已经发展成为强大的结构，分支变得越来越多，如亨利·庞加莱拓扑猜想，汉密尔顿四元数，伽罗瓦理论和代数形式都在这一个时期出现。但是最为深入的活动是关于基础的讨论。他不仅涉及数学本质，也牵涉到演绎数学的正确性。爆发了完备性(completeness)与相容性(consistency)的争论，成了全部数学的适当基础，就成了及其严重和普遍关心的问题。在基础问题上出现有集合论公理化、直观主义、逻辑主义、形式主义四大学派——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以接受的途径。

以布尔巴基（Nicolas Bourbaki）为笔名的法国数学家提出一种令人鼓舞的看法“经过了25个世纪，数学家们已经有了改正错误的锻炼，从而看到他们的科学是更加丰富了”。数学家外尔对数学现状做了恰当的描述“关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决；我们不知道向哪里去找他的最后答案，……，数学化（Mathematizing）很可能是人类的一种创造活动，其具有原始的独创性，他的历史性决定不容许完全的客观的有理化（Rationalization）”。（2022.4.21新浪博客lkx0570）