2.2.5、 数学基础与数学危机

数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争；要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算--除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是"不实的"。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。但是，虚数在工程应用中得不到展示，

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来;古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。

这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。

第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。

第三次数学危机称“悖论”出现。产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。

它一开始就牵涉到无穷集合，现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

数学家们通过将集合的构造公理化来排除了这样的集合的存在性。例如，在策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF公理系统(也称ZFC公理系统)中，严格规定了一个集合存在的条件(简单地说，存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】;一个"定义域"为A的"函数"存在"值域"【替换公理】等)，这样无法定义出悖论中的集合。

集合的构造公理化使得第三次数学危机得到解决。集合的构造公理化写成：“自身除自身等于1”，促进了离散性计算理论和统计力学的发展，计算机理论从容地处理“元素之间没有相互作用的影响”或称“整数在{0或1}之间的跳跃过渡”，称完备性。满足了大数据条件下的统计、组合，以及信息密码，日常生活中的视频、音频、语言、自然文字的同步性传输。

又一个新的数学危机出现了融合——第四次数学危机。对于基础根本性问题提出的解答——集合论公理化、逻辑主义、直观主义或形式主义——都没有达到目的，没有提供一个可以普遍接受的途径。美国数学家克莱因在是《古今数学思想》^P353说“1930年以后还保留下来二个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性”,以及在严格直观根基上去建立数学，或者去确定这种途径的限度。这二个问题中，困难的根源在于无穷集合和无穷程序在所用的无限（infinity）。也就是说，无穷中存在“实无穷与潜无穷”如何实现“融合”？表现为量子理论与相对论、人工智能离散型计算与连续型的思维的融合。

人工智能计算机离散型逻辑算术化和连续型算术逻辑化能够实现融合吗？这个“融合”不解决，人工智能、超级计算机、芯片架构、零误差计算，以及由此引起的计算机算法、算力、鲁棒性、安全性、稳定性等计算机软件、硬件的改进和发展都受到影响，归纳称“融合”。

目前有一种说法，物理后面是数学，数学后面是哲学，哲学后面是神学。如牛顿在数学领域做出重大贡献之后，还是把数学的希望寄托于上帝。中国有句俗语“解铃还要系铃人”，数学问题还得用数学的方法解决，依靠其它对象根本解决不了。