2.1、数的科学与进步

人类社会在远古的群居生活时期，在交流活动中就出现数的内涵，如采用石子代表狩猎者获得猎物的个数。以后进一步，应用不同石子形状代表狩猎者获得不同猎物的个数。猎物的个数的增加与减少或乘与除形式，慢慢地成为算术。数在计算中占有了重要地位。

2.1.1、中国数学史

不少国内外数学史专家的《中国数学史》资料介绍：中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。人类的知识与文化总有其根源，数学也不例外。

　　源自上古星图的“河图洛书”被认为是华夏数学的起源，这一说法虽因过于久远而显得神秘。而建于4100多年前的陶寺天文台，足以证明华夏的远古先民们已掌握了相当成熟的天文与数学知识。                                 

　　线条优美、形状各异的青铜作品，显示了商周的匠人们出神入化的制器艺术，而这些作品背后，是底蕴深厚的数学知识。　　

　　《周髀算经》记载了一个故事，周公问商高，人们进行天文测量，制订历法。天没有台阶可以上去，地那么大，又不能用尺寸来测量。那天地之数是怎么来的呢？商高回答说，数是从圆与方的道理中得来，圆从方来，方从矩来。矩则是根据乘除计算出来的。矩出于九九八十一，故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之外半其一矩，环而共盘得成三四五，两矩共长二十有五是谓积矩。故禹之所以治天下者此数之所生也”。周公再问，矩有什么用呢？商高回答说平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。

据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。起源据《易系辞》记载:"上古结绳而治，后世圣人易之以书契"。甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。

算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

考古学家在西安半坡出土的陶器有用1~8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。在浙江良渚半山文化遗址、余姚河渡姆遗址出土了8000-10000年的欄杆建筑，表明了当时的数学、力学成果，具有一定的地位，把中国数学科学历史提前了6000年。

　　1937年，数学史专家李俨在其著作《中国算学史》中说，“近晚期算学，自明初至清初，约公元1367年迄1750年，前后凡四百年，此期算学虽继承宋金元之盛，以公家考试制度久以废止，民间算学大师又继起无人，是称中算沉寂时期”。

　　1964年，数学史专家钱宝琮在其著作《中国数学史》中说，“明代中叶以后出版了很多商人所写的珠算读本，这些珠算书中虽保存了一些《九章算术》问题，对比高深的宋元数学只能付之阙如，中国古代传统数学到明代几乎失传。”

　　1980年，梁宗巨在《世界数学史简编》中更是说：“自古以来，我国就是一个数学的先进国家……。但是朱世杰之后，我国数学突然出现中断的现象，从朱世杰到明程大位的三个世纪，没有重要的创作。”

祖冲之公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为"六艺"之一的数已经开始成为专门的课程。

现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。

“小数”的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。

公元1274年，宋朝杨辉所著的书中有一个1-300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11=10十1叫加一，9=10-1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201-300以内的质数。

赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的有"勾股圆方图及注"和"日高图及注"是十分重要的数学文献。在"勾股圆方图及注"中他提出用《赵爽弦图》证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在"日高图及注"中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。

今天人们才得以知晓，王文素的《算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年（1524年）。全书分12本42卷，近50万字。其自成书后“四百年间未见各收藏家及公私书目著录。”王文素的这部作品，开创了数学史上的诸多先河，如把数学算法与算盘这一当时最先进的计算工具结合；发明并最早应用奠定微积分基础的“导数”；“复增乘除图草，定位式样，开方演段，捷径成术”；“悬空定位无影踪，带从开方有正翻”在学术与算法方面有进一步发展；继承自前代的一元二次方程数值解法及天元术（一元三次方程数值解法）、四元术（一元四次方程数值解法）。在术语名词、演算程序上较之前都有所发展创新。这部作品重现人间，以最有力的方式回击了“中国古代传统数学到明代几乎失传”的观点。

中国在公元七世纪的唐代王孝通《缉古算经》已有记载，用“从开立方除之的（多项式系数有关的线性平均数值）”而求出数字解答(可惜原解法失传了)。

中国数学后继有人，提出圆对数。认为13世纪王文素失传的高次方程求根解的算法，17世纪韦达定理“一元二次方程”判别式“B²-4AC≥0”衔接并改造为圆对数“(1-η²)^K=(^S√C/B)^S≤1”。这个规则实则是首次发现的“乘与加互逆性规则”，是所有的数学函数必须存在的一个没有发现的规则，不需要无穷小概念和等阶于极限的代数方程证明。所说的“乘”成为控制的边界函数{^S√D}=^S√(D₁D₂…D_S)。“加”为已知的与多项式系数有关的线性和非线性平均数值。如线性均值函数：{D₀}=∑_(Z±S)(1/S)(D₁+D₂+…+D_S)是多项式整数系数不可缺少的函数。称“特征模（不变性的任意次的正中反均值函数）”。当边界函数与特征模这二个数值确定后，可以确定可控的圆对数(1-η²)，同样，已知上述三个条件中任意二个，都可以唯一性的控制第三个数值。