（七）、BSD猜想

1、BSD猜想陈述

　　数学家总是被诸如 那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果Z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反，如果Z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。

2、BSD猜想

　　给定一个整体域上的阿贝尔簇，猜想它的莫代尔群的秩等于它的L函数在1处的零点阶数，且它的L函数在1处的泰勒展开的首项系数与莫代尔群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位的周期以及沙群有精确的等式关系。前半部分通常称为弱BSD猜想。BSD猜想是分圆域的类数公式的推广。格罗斯提出了一个细化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的对于motif的Bloch-Kato猜想。

3、BSD猜想推论

　　由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西尔维斯特等很多猜想。其中最著名的是与同余数问题的关系，从BSD猜想可以推出模8余5，6，7的平方自由的正整数一定可以成为某个有理边长直角三角形的面积。目前没有出现有人提出破解的思路。