第一部分

 

 大约在公元5世纪的时候，意大利南部生活着一群毕达哥拉斯（PYTHAGORAS, 约公元前580—496年，古希腊哲学家、数学家）的哲学信徒，这是一个由一批着重从事数学研究的科学家组成的团体。Pythis——正如我们愿意简单称呼他们的那样——有着他们从毕达哥拉斯这位至今仍然通过毕达哥拉斯定理而闻名的这个人那儿得到的名称。

 

 Pythis一度曾是一类有政治影响的秘密组织。HIPPASOS（公元前520——480年之间）便是此类组织中的一个。Pythis发展了一种关于自然数和数量关系几乎起着神圣不可触犯作用的独特哲学。他们认为，整个世界就是按照这一数量关系建立起来的。（毕达哥拉斯学派认为，数是万物的本原，宇宙的组织便是数及其关系的和谐体系。证明勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。确立了希腊数学。——译者注）

 

 特别与毕达哥拉斯这个名字联系在一起的是直角三角形。事实上，这一著名定理是否是毕达哥拉斯为我们发现的还很成问题。因为，在世界其他一些什么地方的人们也同样认识这一现象的内在关系。

 

 

 

 

 

 

这个最小的三角形分别有着3、4、5的这样有内在关系的边长，这在古代埃及也是众所周知的。因为这里的这三个数始终有着内在的关联，人们称之为三元数，尤其专门称其为毕达哥拉斯三元数。有关这样的数是无限多的，比如65，72，97或者36，77，85或者48，55，73 等等。此类三元数同样全部由自然数组成并因此对于Pythis来说是一个有序世界。人们甚至可以证明，所有这些三元数都是由自然数组成的，因为这关系到下述公式

 

                   

 

 这个式子有些什么特别的地方呢？下面这两个人们一般也能描述为比例关系的分数，是整数的比例关系。

 

                         

 

 一个这样的比例关系在此是无关紧要的，尽管人们“意识”（认识）到它，也就是对除法加以说明，但其本身有一个在小数点后面的十进制分数。

    众所周知，在我们今天的数字领域中有一种叫做有理数，整数和分数便是属于有理数的范畴。一个分数如

 

                          

 

就是一个有理数，分子与分母是整数而其结果是一个具有十进制小数位周期性重复的十进制分数，并且是无穷无尽的：0.33333333… Pythis已经看到，人们原则上将任何有理数通过一个这样的分数便可以表示两个整数之间的比例关系，在必要时也能看作是这样一些分数的和。

 

    Pythis还对另外一种规律性也进行了评估，人们可以在两个整数a和b之间寻找一个从另一方面讲是存在于a和b之间的一个特殊比例关系的第三个数，

     

              

 

在某种程度上说是一个数学的三角形比例关系。

 

  公式里的m被称之为中间比例项（内项）。欧几里得（EUKLID, 公元前365-300年，古希腊数学家）在他的《几何原本》第八卷中写道，有时在a和b之间有一个中间比例项，而有时则没有。

 

两个整数间的这样一种关系中总会有一个夹在其间的共用的数，人们因此也可以说，这两个数有一个公用的比例。这样隐藏在下面这个分数中的公用的比例便是17。

 

                           

 

 即使到了分子与分母是互素（互相不能整除）的地步，在所有可能出现的情况中还存在1可作为公用的比例，作为单位。因为两个数相互是可以比较的，人们以相应的外来词：可通约的（可公度的）来命名它，尽管也并不那么容易理解。

 

 正是堂堂的欧几里得, 在他的《几何原本》第10卷中记下了一个历经2500年沧桑仍然没有改变并仍能实际应用的定义。

 

 “可通约的”（可公度的）意即可被同一个比例测定的数值，而“不可通约的”意即没有一个共同比例的数值。

在这样言简意赅的表达中蕴藏着一个关于我们世界构架的最重要的认识。

 

 

 

第二部分

 

    当HIPPASOS 作出了一项值得其贡献毕生心血的重要发现时，所有的一切对Pythis来说都发生了变化。HIPPASOS发现存在这样一种关系，即既没有一个共同的比例，更谈不上一个中间的比例项，由此可见是不可通约（不可比较）的数值。因为，这关系到下面的事实：虽然任何带有整数分子分母的普通分数都是一个十进制分数，但并不是每一个十进制分数都能当作普通分数的。这些早已为数学家们所认识到。

 

 HIPPASOS恰巧在直角三角形，正确地说在正方形和它的对角线等方面演示了他的发现。

                        

 

按照毕达哥拉斯的原理，HIPPASOS正需要指出，a和c也就是正方形的边和对角线是不可通约的。人们也找不到这样的分数，以致于适应

 

                        

 

正方形边长为1（这也许是数学家心目中最可爱的正方形了）的假设，于是得到

                  

而确切地说, 对于这一个c不存在两个整数d和e适应于下面的等式：

 

                 

 

    以致于Pythis 的世界秩序虽然不会完全垮掉，却总受到损伤。实际上存在着有理数世界，但显而易见也还存在着另外一个不可通约的无理数的神秘世界。也许这正如同面临影片《星球大战》中的“黑色威胁”，那里不正演绎着一种力的无比神秘的倾向吗。

 

    历史是这样述说的，Pythis在一次航行中将HIPPASOS扔出船外，那就是说事实上是谋杀。这当然是令人费解的事情，因为最终HIPPASOS之死事件并不能被一笔勾销。这个疑难问题发生在别的地方。HIPPASOS的发现是无可否认的，然而这却也是无法证明的！人们也可以这样设想：直到HIPPASOS说，不存在两个整数，它们之间的关系是同样的平方根2时，Pythis才第一次开始计算。计算呀，计算，再计算，为了寻找这样两个该诅咒的数。

 

因为存在无穷无尽多的整数和无穷无尽多的分数，也许甚至还有许许多多每每带有两个整数的分数。这个在下面应该不只是由一个唯一的平方根2组成的分数的命题（看法），让人觉得当然首先不那么可信。于是，古印度（又译北印度雅利安）数学家寻找到了有同样一个值的分数，这个分数可以令人惊讶地解出正确的真正的值。

 

                       

 

    而另一个不同的观察研究位于距此非常非常遥远地方。有极大可能性是Pythis不熟悉这一分数，而古印度人也没有预感。小数点之后数字的顺序从来没有中断（拆开）过。跟带小数点之后周期性位置的十进制分数不同，这里在位置上也没有重复。这一个不存在由整数组成的分数的数，叫做无理数。

    无理数的特征在相当长的时间里使数学家们绞尽脑汁。他们想搞明白，如何给它下定义并进行描述，以及它究竟是否是严格意义上的数。著名的德国算术大师米歇尔· 施蒂弗（Michael STIFEL, 1486——1567年）为此写道：

 

 有理由在无理数问题上对此进行争辩，它是否是名副其实的真正的数或者只是虚构的数。因为在有理数无法证明某些几何图形的地方无理数却能胜任愉快，它确实表现出能够证明有理数无法证明的东西。由此可见，我们将不得不促进允许它事实上的存在，也就是说是根据它所起的作用… 但是，其他原因把我们推向被反对的观点，因为我们不得不怀疑，无理数是数。即如果我们试图让它经受计算考验以及将它与有理数放在同一种计算关系之中，那么我们将发现，它会持续不断地远离我们而去，以致于它们中没有一个能够完全被理解…它没有一点可以被称得上是真数，在这方面没有一点精确性并且与真数也没有众所周知的关系。（《算术》，英特格拉著，纽伦堡 1544）

 

这段话至少是在毕达哥拉斯故世一千多年后才写下的。

 

最重要的无理数之一是圆周率π（希腊字母）：

 

                    π=3.1415926…

  

    它的小数点之后今天已经被计算到数千位之多。不存在两个整数a和b, 适合于这一点的是：

                  

 

大概阿基米德（公元前287-212年，古希腊学者）已经发现一个真正正规的分数：

 

                 

以及例如还有：

 

                

 

    但是它的所有方面还够不上这一个数的真正数值。人们如何能够这样吹毛求疵地看待这一计算，他们不能提供实际答案。事实上许多数学家对于小数点第五位或第六位π的无理性质还一无所知。尽管如此他们还是作出了巨大的确实正确的发现。

 

 人们是否会由于政治原因而干掉HIPPASOS，因为他实在知道得太多？还是因为大多数人对这个整数到底是什么劳什子根本不感兴趣，那么让无理数的秘密只有Pythis自己知道就算了，而世界还不是一切照常。

 

 

                                  译自国外数学网站