Fig.10 ︱原子核三维结构图（核子图）。CS：表示核素的结团结构。X、Y、Z分别为核素的三维坐标轴，坐标原点随不同核素的质心而相应变动。a，8Be核子图，由1个自旋平行于纸面的a结团和1个自旋垂直于纸面的a结团构成。b，12C核子图，由1个自旋平行于纸面的a结团（U）和2个自旋垂直于纸面的a结团构成（V）。在垂直于纸面的2个a结团内，d核健J4连接N7—P11，J5连接N6—P10，J6连接P8—N12。c, 16O核子图，由1个自旋平行于纸面的a结团（U）和3个自旋垂直于纸面的a结团构成（V）。d核健的连接同12C， 其中的P11、P10、N12交替与附近成对核子形成J4、J5、J6和J7、J8、J9健。图中的4个a结团因相互作用而发生形变，接近于菱形，图示只是一种近似的表示。

    现有的各参数对中等核和重核的基态性质都能给出较好的描述，但是对轻核却不太适用。主要是位于中等核和重核区的核素，它们的单核子比结合能接近于一个常数，适用于平均场描述，而在轻核区主要是以结团性和对关联效应等剩余相互作用为主。一些参数组也考虑了上述的剩余相互作用，但试图以剩余相互作用作为平均场的修正来一劳永逸地解决轻核的问题，仍然是不现实的。

    由于轻核的核子数较少，每一个轻核又具有独特的结构特征，不具有统计性，因此，用纯粹的数学方法是不可能准确解释轻核的基态性质的。我们的做法就是放弃那种用纯粹的数学方法或者是数学模型来解决问题的传统思路，首先利用我们给出的轻核三维壳层结构(见Fig.9)建立每个核素的核子结构图，分析这个核素的结团构成和结团间的相互作用关系(如d核健数)，再将这些结构数据代入到我们给出的计算公式中，从而准确求得核素的结合能值。（为了避免构造核结构的随意性，我们在以后建立每一个核素的核子结构图时，都统一使用Fig.9做为模板。）

    下面我们将以一种全新的方式来了解原子核的结构和结合能之间的依赖关系，并对结合能给出非常清晰的解释。

    参见Fig.9，依据我们前面给出的核子填充规则，当第8个核子P8填入壳层后，就构成了8Be核的三维核子结构图(Fig.10a)，从这个结构图可看出，8Be核由2个a结团构成，因此，8Be核的结团结构为2a；还能看出这2个a结团处于不同的壳层，相互之间只能形成1条d核健，所以J=1;另外，8Be核有4个质子分别包含在2个a结团中，根据我们给出的计算公式，质子间的库仑能Bc=-4×0.63MeV=-2.52MeV。

将上述的结构数据代入到计算公式，我们得:

      B(4,8)=2B_a+ B_d -2.52MeV =56.2996MeV (56.4995MeV)

    括号内的数据为实验值,见95年的原子核数据表（G. Audi and A.H. Wapstra, Nucl. Phys. A595, 409，1995）。我们得出的计算值与实验值间的误差只有0.1999MeV，与现有的一些参数比已经相当精确了。从上式我们还能看出: 8Be核内的2个a结团间结合能B_d=2.2246MeV，而库仑斥力Bc=-2.52MeV，显然这2个a结团是不能束缚的，会很快衰变为2个a粒子，实验事实也正是这样的。

     在轻核区，8Be核是一个相当特殊的核素，从理论上来说，它是一个偶偶核，应该相当地稳定才对，然而在实验上却是一个放射性核素，半衰期只有T_1/2=6.7E-17S。8Be核的这种反常特性，对一些模型和参数来说都是一个严峻的考验。例如，在文献（白华新，胡济民 高能物理与核物理 第21券第3期，1997）中，利用基于平均场理论中具有代表性的Skyrme势，采用其中的Z_σ势参数计算得到的8Be核的基态结合能值只有43.458MeV(HF)、44.072MeV(BCS)、43.535MeV(PNC)；后面用考虑了对相互作用的E_σ势参数，计算得出的结合能值也只有46.546MeV ，与实验值相差9.953MeV。这么大的误差主要是由于平均场理论没有考虑8Be核的结团性造成的。

    下面我们再来看看12C核的三维结构。12C核是检验a结团模型的典型核，自六十年代起，Harrington等人就对此展开过大量的研究，一般来说，大家都确认12C核是由3个a结团构成的，但是在处理3个a结团间的相互作用时，仍然沿用了平均场理论的思路，把a结团作为单核子来处理，并构造出相应的a-a相互作用势，再来求解这种势函数方程的解。由于这种方法对a结团之间的相互作用关系并没有一个明确的界定，因而求解出的基态结合能值与实验值有较大的差异。

    在三维模型中，当核子N12填满V壳层的第2个a结团小壳层时（参见Fig.9），就形成了12C核的三维壳层结构(Fig.10b)，如Fig.10b所示，12C核由处于U壳层的1个a结团和2个处于V壳层的a结团构成，它们之间共形成了2个NP束缚态，即d核健J1和 J2。同时，位于V壳层的2个a结团间还形成了另外3个NP束缚态，即d核健J3、J4和 J5。就是说，12C核的3个a结团间的相互作用并不是一个模糊的平均场在起作用，而是具有非常明确指向的NP对力束缚住了3个a结团，并使12C核成为一个非常稳定的核素。因而，三维模型给出的12C核的结构为3a，d核健数J=5。

    当核内的结团数N＜3，且不考虑所含结团的结合能时，我们可用更简单的形式B（Z，A）=JB_d- Z×0.63MeV来计算结团之间的结合能，即结团间形成的d核健的健能减去结团间的库仑能。12C的质子数Z＝6，形成的d键数J＝5，所以3个a结团间的结合能B（6，12）=JB_d - Z×0.63MeV=7.343 MeV，相应结合能的实验值为7.274MeV（取自1995原子核数据表）。我们的理论值与实验值的相对误差只有0.069MeV，而Harrington利用可分势解齐次Faddeev方程，得到的3 a 束缚态的结合能值为12.8MeV（见文献1），Fulco利用Darriulat唯象势得出的结合能值为2.79MeV（见文献2），Abul-Magd 利用Hall-Post理论得出的理论值为4.9MeV（见文献3） 、Avishai采用Irving 波函数得到的结合能值为6.726MeV（见文献4），比较与实验值相符。我国学者刘郎、王倍文、陈洪、孟杰等利用相对论类壳模型方法（RMF-SLAP），在考虑对关联的情况下得到的结合能值为9.892MeV（见文献5），比实验值稍大。   

    上述的比较结果表明，结团间核子的相互作用是指向明确的NP对力而不是模糊的平均场，同时也表明，只要我们正确认识到结团间的这种相互作用关系，即使使用简单的公式也能获得较好的计算结果，从而对轻核的结合能给出清晰而明确的解释。

    同样地，当核子P16填满V壳层的第3个a结团小壳层时（参见Fig.9），就形成了16O核的三维壳层结构(Fig.10c)，如Fig.10c所示，16O核由处于U壳层的1个a结团和3个处于V壳层的a结团构成，它们在壳层之间共形成了3个NP束缚态，即d核健J1、J2和 J3。同时，位于V壳层的3个a结团间还形成了另外6个NP束缚态，即J4、J5、J6和J7、J8、J9。这里需要说明一下，由于原子核是一个量子力学体系，跟分子结构不同，这里所说的d核健的概念只代表一种束缚态，这种束缚态并不可能像分子中的化学健那样能稳定存在。原子核内所有的核子都处于束缚态与单核子态的叠加状态，同样地a结团间的相互作用也处于这样的叠加状态，就以16O核为例来说，当位于-Y轴的a结团与位于X轴的a结团处于束缚态时，与位于-X轴的a结团就处于单核子态。反之也一样。因此，16O核内的d核健J4、J5、J6和J7、J8、J9是交替形成的。

    同时，由于16O核内的a结团数N>3，对单核子间的相互作用势也要考虑进去，因而，对16O核我们给出的计算式为：

    B(Z,A)= NB_a+[J+(I-J)/4] B_d -Z×0.63MeV

    其中的I=N（N-1）为N个a结团间的总的相互作用数。(I-J)/4实际上是1/2×1/2×(I-J)的简化形式，(I-J)的含义是从a结团间的总的相互作用数中扣除已经形成的d核健数。再对剩下的相互作用数乘以1/2是因为这种单核子势只发生在质子和中子对间而不是所有的核子间，最后再乘以一个1/2是为了把单核子势W_d化为核力健的形式。因为W_d=1.1123MeV=0.5 B_d。

    16O核的核子结构图(Fig.10c)表明，16O核由4个a结团构成，结团数N=4，d核健数J=9，Z=8，将这些数据代入上式得：

    B(8,16)= 4B_a+[9+(12-9)/4] B_d -7.56MeV=127.314MeV (127.619MeV)

    括号内为实验值，我们的计算误差为0.305MeV，非常接近于实验值。对于16O核的4a结构同样有大量的研究，在这里就不一一例举了。我们给出的计算值同样具有优势。

    以上计算值与各参数的对比，并不是要说明我们的公式有多么精确，恰恰相反，我们给出的计算式只是一个简单的估算公式，在对各核素的结合能进行计算时，对单核子(中子与质子)间和质子间的间距都取的是平均值，因而计算式本身就有约0.5 MeV的误差。另外，我们的公式使用的只是初等数学，并未涉及核子的非核子自由度和相对论效应，因而对轻核的适用范围也是有限的，只适用于轻核基态结合能值的估算。

    上述的对比结果表明，核结构直接决定着核质量，一旦认识到二者间的依赖关系，我们对原子核结合能的解释和理解将变得非常简单和清晰，核结构与核质量之间的依赖关系再也不会成为什么秘密。我们希望我们给出的这些核结构信息能够引起各参数的注意，如果各参数在构造波函数时，能够把轻核结构的上述特征考虑进去的话，我们相信，考虑了更多非核子自由度的各参数，在描述轻核的基态结合能时，会给出比我们更好的计算结果。

参考文献：

1. Harrington,D.R. Three-Alpha Model for ¹²C^. Phys. Rev. 147, 685 - 688 (1966).

2. Fulco,J. R. ＆ D. Y. Wong.Ground State of Three Alpha Particles. Phys. Rev. 172, 1062 - 1064 (1968).

3. Abul-Magd, A.Y. The cluster structure of alpha-particle nuclei. Nuclear Physics.A129,610-614 (1969).

4. Avishai,Y.First 0⁺ Excited State of ¹⁶O in the α-Particle Model of Light Nuclei. Phys. Rev. C 6, 677 - 679 (1972).

5. Liu, L.,Wang, P. W.,Chen, H. ＆ Meng, J. Investigation of a-Clustering Structure in Light Nuclei with RMF+SLAP Method. HEP ＆ NP. 30, 227-229 (2006).