初中几何题选解.104

问题：如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与BC，AC分别交于点D、E，BE交AD于F点，AB = AD

试问：1、△FDB 与 △ABC是否相似？

      2、 AF与DF是否相等？

一、关于“△FDB 与 △ABC是否相似？”的解题思路：

1、  ∵ DE是BC 的垂直平分线

∴ BE = CE

∴ ∠EBC = ∠ECB

2、  ∵ AB = AD

∴ ∠ABD = ∠ADB

3、  在△ABC 和 △FDB 中：

∠ACB =  ∠FBD

∠ABC = ∠FDB  

∴ △ABC ∽ △FDB

二、   关于“2、 AF与DF是否相等？”的解题思路：

1、   过D作DG∥BE，交AC于G，过A作AH⊥∥BC，交BC于H，如图2所示。

2、  在△ABC 中：

      ∵ DE垂直平分线BC

      ∴ BD = CD

      又 AB = AD

      ∴ BH = DH

      ∴ DH = DC/2

3、在△ACH 中：

      AH∥DE

DH = DC/2

∴ AE = CE/2    （1）

3、在△BCE 中：

      DG ∥ BE

BD = CE

∴ EG = CG = CE/2   （2）

 4、由（1）和（2）得：

 AE = EG

5、在△ACD 中：

      FE ∥ DG

AE = GE

∴ AF = DF