初中代数题选解.55

问题：a，b，c是△ABC的三边长，二次函数：

y = (a–b/2)x² –cx–a–b/2

在x=1时取最小值–8b/5

  问：关于△ABC的下列判断哪一个是正确的：

       A.  等腰三角形    B.  锐角三角形

       C.  钝角三角形    D.  直角三角形

解题思路：

    整理该函数：

      y = (a–b/2)x² –cx–a–b/2

       = (a–b/2)[x² –cx/(a–b/2)]–a–b/2

       = (a–b/2){[x–c/(2a–b)] ² –[c/(2a–b)] ²}–a–b/2

       = (a–b/2){[x–c/(2a–b)] ² –[c/(2a–b)] ²}–a–b/2

    即当x=c/(2a–b)时，x=1.且y取最大值-8b/5

    ∴  c/(2a–b)=1 且

(a–b/2)–c–a–b/2 = -8b/5

       c = 3b/5

       a = 4b/5

       ∴ a² + c²= b²

    所以，本题的三角形是以b为斜边，以a，c两边为直角边的直角三角形。

    故：结论“ D.  直角三角形 ”正确。