初中代数题选解.54

 问题：当a取遍0到5的所有实数，满足3b = a(3a-8)

且b为整数

求：b的个数

解题思路一：

    整理3b = a(3a-8)后得：

      3a² – 8a – 3b = 0

    该方程有实数根的充要条件是其判别式≧0

△ = 64 + 36b ≧0

∴  b ≧–1  （1）

此时，关于变量a的一元二次方程的解：

a = [8 ±√(64 + 36b)]/6

∴ a = [4 ±√(16 + 9b)]/3

已知：0≤a≤5

∴ 0≤ [4 ±√(16 + 9b)]/3 ≤5

0 ≤[4 ±√(16 + 9b)] ≤15

–4 ≤ ±√(16 + 9b)≤11

16 ≤16+9b≤121  或16 ≤–(16+9b)≤121

当16 ≤16+9b≤121 时，有：

0 ≤ 9b ≤ 105

0 ≤ b ≤ 105/9

0≤ b≤11

当16 ≤–(16+9b)≤121 时，有：

–121 ≤ 16+9b ≤–16

–105 ≤ 9b ≤ 0

–11 ≤ b ≤ 0

又由于不等式（1）成立，所以

–1≤ b≤0

综上所述：–1≤ b≤11

b共可取13个整数

解题思路二：

    整理3b = a(3a-8)后得：

      b = a² – 8a/3

        = (a –4/3)²–16/9

    当a=4/3时，b 取最小值：–16/9

    当a=5时，  b 取最大值：105/9

总之：–16/9≤ b≤105/9

∴–1≤ b≤11

结论：b共可取13个整数