感生及动生电动势同时存在的几道题

1．如图所示，固定于水平绝缘面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，http://s5/mw690/56b3cd5chd26bdbbcf3a4&690
金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动。此时，adeb框成一个边长为l的正方形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计，开始时磁感应强度为B₀。

若从t=0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右作匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感应强度随时间变化的关系是怎样的（写出B与t的关系式）？

解：

http://s13/mw690/56b3cd5ch7b712ef129ec&690

2．（08东城）如图所示，两根完全相同的光滑金属导轨OP、OP固定在水平桌面上，导轨间的夹角为θ=74°，导轨单位长度的电阻为r₀=0.10Ω/m。导轨所在空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，且磁感应强度B随时间t的变化关系为B=k/t，其中比例系数k=2T·s。将电阻不计的金属杆MN放置在水平桌面上，在外力作用下，t=0时刻金属杆以恒定速度v= 2m/s从O点开始向右滑动。在滑动过程中保持MN垂直于两导轨间夹角的平分线，且与导轨接触良好。（已知导轨和金属杆均足够长，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：http://s5/mw690/56b3cd5chd26bdcfda5d4&690

（1）在t=6.0s时，回路中的感应电动势的大小；

（2）在t=6.0s时，金属杆MN所受安培力大小；

（3）在t=6.0s时，外力对金属杆MN所做的功的功率。

解：

（1）方法一：

t=6.0s时，x=vt=12m

切割边长L=2xtg(θ/2)=3vt/2=18m

面积S=3t²=108m²

http://s9/mw690/56b3cd5chd26bdfb683a8&690

方法二：若分开计算两种电动势再求和

E₁=BLv=12V

http://s9/mw690/56b3cd5chd26be08c9708&690

E=E₁+E₂=6V

方法三：B=k/t、S=3t²

Φ=BS=3kt=6t

利用数学求导http://s15/mw690/56b3cd5chd26be1abe7fe&690

（2）t=6.0s时，回路总长度x+2xtg(θ/2)+2x/cos(θ/2)=5vt=60m

总电阻R=6Ω

I=1A

F=BIL=6N

（3）P=Fv=12W 

3．（07广东）如图（a）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L，距左端L处的中间一段被弯成半径为H的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H的水平面上。圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B₀，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B（t），如图（b）所示，两磁场方向均竖直向上。在圆弧顶端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t₀滑到圆弧底端。设金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。

（1）问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？

（2）求0到时间t₀内，回路中感应电流产生的焦耳热量。

（3）探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B₀的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向。

  http://s7/mw690/56b3cd5chd26be3968956&690
 

解：（1）感应电流的大小和方向均不发生改变。因为金属棒滑到圆弧任意位置时，回路中磁通量的变化率相同。            ①

（2）0—t₀时间内，设回路中感应电动势大小为E₀，感应电流为I，感应电流产生的焦耳热为Q，由法拉第电磁感应定律：http://s9/mw690/56b3cd5chd26be62736f8&690                 ②

根据闭合电路的欧姆定律：http://s14/mw690/56b3cd5chd26be72a3d7d&690 ③

由焦定律及②③有：http://s10/mw690/56b3cd5chd26bea62c2a9&690      ④

（3）设金属进入磁场B₀一瞬间的速度变v，金属棒在圆弧区域下滑的过程中，机械能守恒：http://s10/mw690/56b3cd5chd26bec0294e9&690    ⑤

在很短的时间Δt内，根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场B₀区域瞬间的感应电动势为E，则：http://s2/mw690/56b3cd5chd26bedb8e0d1&690     ⑥

由闭合电路欧姆定律及⑤⑥，求得感应电流： http://s11/mw690/56b3cd5chd26bf2f7f00a&690     ⑦

根据⑦讨论：

I.当http://s12/mw690/56b3cd5chd26bf503ddcb&690时，I=0；

II.当http://s7/mw690/56b3cd5chd26bf90b9cc6&690

III.当http://s14/mw690/56b3cd5chd26bfc0b001d&690。

4．（03江苏、广东）如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r₀=0.10Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k=0.020T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所受的安培力。

http://s3/mw690/56b3cd5chd26c00bddd22&690

解：以a表示金属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆与初始位置的距离L＝at²/2此时杆的速度　v=at

这时，杆与导轨构成的回路的面积S=Ll

回路中的感应电动势http://s2/mw690/56b3cd5chd26c02860ca1&690

回路的总电阻　R＝2Lr₀

回路中的感应电流 　I=E/R

作用于杆的安培力　F＝Bli

解得　http://s12/mw690/56b3cd5chd26c032d527b&690

代入数据为　　F=1.44×10^－3 N