第五章  一元函数的导数及其应用

5.3.2函数的极值与最大（小）值 第一课时 作业设计

一、巩固与落实

1. 函数f(x)的导函数y=f’(x)图像如图所示，极值点是________，其中极大值点是_____，极小值点是_______

【解析】根据极值点的定义可得，， ，

【设计意图】：本题主要通过导函数的图像评价学生对极值点定义的理解程度，考查学生直观想象的数学核心素养，属于学业质量水平一的要求.来源：人教A版书p92练习1

2. 下列函数中存在极值的是(　　)

A．y＝        B．y＝x－e^x        C．y＝2     D．y＝x³

【解析】对于y＝x－e^x，y′＝1－e^x，

令y′＝0，得x＝0.

在区间(－∞，0)上，y′>0；

在区间(0，＋∞)上，y′<0.

故当x＝0时，函数y＝x－e^x取得极大值．

【设计意图】本题主要考查学生对极值定义的理解，属于学业质量水平一的要求.

3. 函数f(x)=x+2cos x在 上的极大值点为  ( 　　)

A.0  B.   C.   D.

【解析】由题意得， f'(x)=1-2sin x，

令f'(x)=0，得x= ，当0 时， f'(x)>0；当 时， f'(x)<0.

∴当x= 时， f(x)取得极大值. 选B　

【设计意图】本题考查学生利用导数求极值的方法和步骤，考查学生数学运算核心素养，属于学业质量水平一的要求.

4．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx²＋x的两个极值点，则常数a＝________.

【解析】因为f′(x)＝ ＋2bx＋1，

由题意得

所以a＝－ .经检验，符合题意．

【设计意图】本题利用极值点求参数，本质上是考查学生对极值点定义的理解。属于学业质量水平一的要求.

5. 求下列函数的极值.

(1)f(x)=x³-27x；(2)f(x)=x²-2ln x.

【解析】(1)由题意得， f'(x)=3x²-27，

令f'(x)=0，即3x²-27=0，

解得x=-3或x=3.

当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:

 

∴当x=-3时，函数f(x)有极大值，且f(-3)=54；

当x=3时，函数f(x)有极小值，且f(3)=-54.

(2)由题意得， f'(x)=2x- ，且函数f(x)的定义域为(0，+∞)，

令f'(x)=0，得x=1或x=-1(舍去)，

当x∈(0，1)时， f'(x)<0，

当x∈(1，+∞)时， f'(x)>0，

∴当x=1时，函数有极小值，极小值为f(1)=1，无极大值.

【设计意图】本题考查学生利用导数求极值的方法和步骤，考查学生数学运算核心素养，培养学生规范的书写格式，属于学业质量水平一的要求. 来源：人教A版书p92练习2（2）

6．函数f(x)＝aln x＋ ＋ x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的极值．

【解析】(1)f′(x)＝ －＋ (x>0)．

由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，

从而a－ ＋ ＝0，解得a＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋ x＋1(x>0)，

f′(x)＝－ －＋ ＝ ＝.

令f′(x)＝0，解得x₁＝1，x₂＝－ (舍去)．

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值．

【设计意图】本题第一小题考查导数的几何意义——切点处的切线斜率，第二小题考查学生利用导数求极值的方法和步骤，考查学生数学运算核心素养，培养学生规范的书写格式，属于学业质量水平一的要求.

二、加强与提高

7．函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a²＋a在x＝1处有极值为7，则a等于(　　)

A．－3或3  B．3或－9  C．3  D．－3

【解析】f′(x)＝3x²＋2ax＋b，

∴

解得 或

当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x²＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，当－3<<i style="mso-bidi-font-style:normal">x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，x＝1是极小值点；

当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x²－6x＋3＝3(x－1)²≥0，x＝1不是极值点．

∴a＝3. 选C

【设计意图】本题利用极值求参数，本质上是考查学生对极值、极值点定义的理解，针对“导数为0的点不一定是极值点”这个易错点出题。属于学业质量水平二的要求.

8. 已知f(x)=ln x+ (a≠0)，则  ( 　　)

A. 当a<0时， f(x)存在极小值f(a)

B. 当a<0时， f(x)存在极大值f(a)

C. 当a>0时， f(x)存在极小值f(a)

D. 当a>0时， f(x)存在极大值f(a)

【解析】由题意得， f'(x)=  - -  = ，且函数f(x)的定义域是(0，+∞).

当a>0时，令f'(x)>0，解得x>a，

令f'(x)<0，解得0，

∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，

故f(x)的极小值为f(a)，无极大值，

当a<0时，f'(x)>0， f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值.故选C.

【设计意图】本题在有参数的情况下求极值，需要分类讨论，考查学生对极值定义的理解，考查学生数学运算和逻辑推理核心素养。属于学业质量水平二的要求.

9．(多选)已知函数f(x)＝x³＋ax²＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是(　　)

A．－4  B．－3  C．6  D．8

【解析】由题意知f′(x)＝3x²＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，

所以Δ＝4a²－12(a＋6)>0，

解得a>6或a<</span>－3. 选AD

【设计意图】本题需要学生将有极大值、极小值，转化为导函数为0有两个不等根，再结合判别式处理。考查极值的定义，突出数学转化与划归的思想。属于学业质量水平二的要求.

10．设a为实数，函数f(x)＝x³－x²－x＋a.

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？

【解析】(1)f′(x)＝3x²－2x－1.

令f′(x)＝0，得x＝－ 或x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)的极大值是f ＝ ＋a，极小值是f(1)＝a－1.

(2)函数f(x)＝x³－x²－x＋a＝(x－1)²(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，

x取足够小的负数时，有f(x)<0，

∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．

由(1)知f(x)_极大值＝f ＝ ＋a，f(x)_极小值＝f(1)＝a－1.

曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，

∴f(x)_极大值<0或f(x)_极小值>0，即 ＋a<0或a－1>0，∴a<</span>－ 或a>1，

∴当a∈ ∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．

【设计意图】本题第一小题考查学生利用导数求极值的方法和步骤，考查学生数学运算核心素养。第二小题考查学生数形结合能力，直观想象核心素养。属于学业质量水平二的要求.

三、拓展与探究

11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)

 

 

 

 

 

 

 

 

【解析】因为f(x)在x＝－2处取得极小值，

所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；

当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.

所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；

当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；

当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中的图象知选C.

【设计意图】本小题借助导函数图像，考查函数极值的定义，涉及分类讨论思想。考查学生数形结合能力，直观想象核心素养。属于学业质量水平三的要求.

12．若函数f(x)＝x³＋x²－mx－4在区间(－2,2)上恰有一个极值点，则实数m的取值范围为________．

【解析】f′(x)＝3x²＋2x－m，

函数f(x)在区间(－2,2)上恰有一个极值点，

即f′(x)＝0在(－2,2)内恰有一个根（非等根）．

又函数f′(x)＝3x²＋2x－m的对称轴为x＝－ .

∴应满足 ∴

∴8≤m<16.

【设计意图】本小题需要利用极值点的定义，将区间内有一个极值点转化为导函数在区间内有一个根，再用二次方程根的分布去处理。考查学生转化与划归的能力和数形结合的数学思想。属于学业质量水平三的要求. 来源：原创题。

四、测试与评价

13. 设 ，若 为函数 的极大值点，则（    ）

A.         B.         C.        D.

【解析】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .

有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.

当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：

由图可知 ， ，故 .

当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：

由图可知 ， ，故 .

综上所述， 成立.

故选：D

【设计意图】本小题结合极值的定义，考查三次函数的图象与性质，考查学生数形结合的思想方法.属于学业质量水平三的要求. 来源：2021年全国乙卷T10。

五、 纠错与反思

14. 是函数f(x)在x=a处有极值的____________条件

【解析】由极值的定义知， 函数f(x)在x=a处有极值必有，而则不一定说明f(x)在x=a处有极值，如函数f (x)＝x³，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x³的极值点.

故答案为：必要不充分.属于学业质量水平二的要求.

【设计意图】对易错点的梳理和总结，有利于深化学生的批判性思维。发展学生的逻辑推理数学核心素养。