求1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5².....+ 1/n²=?

解：∫（1/n²）dn=-1/n+C,显然当n趋于无穷大时，1/n为零，∫（1/n²）dn为定值C。而不像1+1/2+1/3+1/4+1/5.....+ 1/n那样是发散的。它的和显然不像高阶等差数列那样存在通项。

它的求解自然类似泰勒公式展开。

;sin(x)=x-x³/3!+ x⁵/5! –x⁷/7!....;

;sin(x)/x=1-x²/3!+ x⁴/5! –x⁶/7!....;

;当x取kπ(k取1到n正整数)时sin(x)=0也即sin(x)/x=0

;注意到（1+x/π）（1-x/π）（1+x/2π）（1-x/2π）（1+x/3π）（1-x/3π）...；

；无论x取kπ那一项，它的乘积都是0；

；亦当x取kπ(k取1到n正整数)时与是相等的。

；即1-x²/3!+ x⁴/5! –x⁶/7!....= （1+x/π）（1-x/π）（1+x/2π）（1-x/2π）（1+x/3π）（1-x/3π）...；

；将（1+x/π）（1-x/π）（1+x/2π）（1-x/2π）（1+x/3π）（1-x/3π）...展开；

；=（1-x²/π²）（1-x²/4π²）(1-x²/9π²）.....;

;取 中x²项的系数为（- 1/π²- 1/4π²- 1/9π²..... - 1/n²π²）;

;与是相等的,且项数次方也是对应的。所以中x²项对应中x²项的系数是（-1/3!）

；于是有（- 1/π²- 1/4π²- 1/9π²..... - 1/n²π²）=（-1/3!）；

；-（1/π²）（1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5².....+ 1/n²）=-1/6

; （1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5².....+ 1/n²）=π²/6;

;当然这里的n需要取到无穷大时，数列的和才趋于常数π²/6。

二、1+1/2⁴+1/3⁴+1/4⁴+1/5⁴.....+ 1/n⁴=?

；同理构造（1+x²/π²）（1-x²/π²）（1+x²/4π²）（1-x²/4π²）（1+x²/9π²）（1-x²/9π²）..（1+x²/n²π²）（1-x²/ n²π²）

;= （1-x⁴/π⁴）（1-x⁴/16π⁴）（1-x⁴/81π⁴）.....（1-x⁴/ n⁴π⁴）

;x⁴项的系数为=（- 1/π⁴- 1/16π⁴- 1/81π⁴..... - 1/n⁴π⁴）;

;注意到 与是虽然相等的,且项数次方也是不对应的。sin(x)/x 我们对应的是（1-x²/π²）（1-x²/4π²）(1-x²/9π²）....还需要构造（1+x²/π²）（1+x²/4π²）(1+x²/9π²）....；对应的函数即sinh(x)/x;

; sinh(x)/x=1+x²/3!+ x⁴/5! +x⁶/7!....

所以[sin(x)/x][ sinh(x)/x] =(1-x²/3!+ x⁴/5! –x⁶/7!..)( 1+x²/3!+ x⁴/5! +x⁶/7!)

; [sin(x)/x][ sinh(x)/x]中x⁴项的系数为 [（2/5!- （1/3!）²] （只需要看前六项0;

;-( 1+1/2⁴+1/3⁴+1/4⁴+1/5⁴.....+ 1/n⁴) =[（2/5!- （1/3!）²];

;- 1/π⁴ ( 1+1/2⁴+1/3⁴+1/4⁴+1/5⁴.....+ 1/n⁴)=-1/90;

; ( 1+1/2⁴+1/3⁴+1/4⁴+1/5⁴.....+ 1/n⁴)= π⁴/90;