一、利用定积分的定义求1/（x）的不定积分。

;将0到x分成n等份，则x=x /n； (n→∞) ，x

求1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5².....+ 1/n²=?

解：∫（1/n²）dn=-1/n+C,显然当n趋于无穷大时，1/n为零，∫（1/n²）dn为定值C。而不像1+1/2+1/3+1/4+1/5.....+ 1/n那样是发散的。它的和显然不像高阶等差数列那样存在通项。

它的求解自然类似泰勒公式展开。

证明[∑（1/k）-ln(n)]为常数(k取1到n)

=[∑（1/k）-nln(n)/n]

=(1-ln(n)/n)+(1/2- ln(n)/n) +(1/3-ln(n)/n)....+(1/n-ln(n)/n)

=∑[（1/k）

求数列Sn=1/1!+1/2！+1/3!+1/4!+……+1/n!

解

求：1³+2³+3³+4³+5³+6³……+n³=Sn?（用n表示）并证明

解：

;1  8  27  64  125...... +n³

  7  19  37  61.....

12  18  24....

   6   6....

求：1+3+6+10+15+21……=Sn?（用n表示）并证明

解：由数字规律得通项为1+2+3+…+n= n(n+1)/2

1

1+2

1+2+3

1+2+3+4

………

1+2+3+4+5… (n-1)

1+2+3+4+5…+ (n-1) +n

竖向相加Sn=1(n)+2(n-1)+3(n-2)+4(n-3)…+ (n-1)[n-(n-2)]+n[n-(n-1)]

证明：d(sinx)=cosx,即sinx的导数为cosx

由定义得: lim[sin(x+x)-sinx]/ x在