《直线与圆的位置关系》教学案例

一．设计理念

    依据《数学课程标准》，数学源于生活，从生活中构建数学模型，应用数学思维方式观察、分析、探索、发现规律，并应用其解决生活中的实际问题，培养学生的实践能力，使学生学有所值，且能学以致用。

二．教材分析

圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，学好本章内容，能提高解决实际问题的综合能力。

“直线和圆的位置关系”是《圆》这章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆和圆的位置关系的基础。从数学思想方法的层面上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的数学思维品质。因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用。

 

三．教学目标

（1）知识目标：①从具体的事例中认识和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义；

②会用定义来判断直线与圆的位置关系；

③探究直线与圆的位置关系的数量表示，并运用其关系。

（2）能力目标：体验数学活动中的探索与创造，培养学生的观察、归纳能力，以及分析问题，解决实际问题的能力。

（3）情感目标：①体会事物间的相互渗透，初步掌握转化的思想；

②感受数学思维的严谨性，并在合作学习中获得成功的体验。

四．教学重点:

 探索并了解直线和圆的位置关系

五．教学难点:

掌握识别直线和圆的位置关系的方法．

六.教学过程

情景引入：海上日出是非常壮美的景象，那么太阳在升起的过程中它与海平线有几种不同的位置关系呢？（多媒体演示，从中体现圆与直线的相对运动产生不同位置关系）　　

一　直 线和圆的位置关系的基本概念　　

我们对刚才的景象进行数学的抽象不难发现，直线和圆在相对运动过程中会有三种不同的位置关系．请大家观察直线与圆处在不同位置关系时有哪些不同点（引导学生观察图形，发现问题）　　

发现：直线与圆处在不同位置关系时直线与圆的公共点个数不同．　　

　　（将公共点个数确立为直线和圆位置关系分类的原则，对三种分类进行定义）　　

 

 

直线和圆的位置关系
直线与圆 有两个公共点	直线与圆 有唯一公共点	直线与圆 没有公共点
直线与圆相交	直线与圆相切	直线与圆相离

二　直线与圆的位置关系的数量特征：　　

直线与圆的相对运动会产生不同的位置关系，那么我们可以通过数量来刻画这些位置关系吗？（指导学生体会位置关系与数量关系的联系，从中感受数与形的相互结合与转化）　　

1．  回忆：　　

（１）   点与圆 的三种位置关系取决于哪两个数据？　　

多媒体图形展示：点Ｐ与圆Ｏ的三种位置关系　　

明确:点与圆的三种位置关系取决于点到圆心的距离ＯＰ和圆的半径r．　　

将二者进行比较得:                                                             　　

点P在圆Ｏ外      ＜＝＞    ＯＰ﹥r　　

  点P在圆Ｏ上      ＜＝＞    ＯＰ= r 　　

  点P在圆Ｏ内      ＜＝＞    ＯＰ<</B> r　　

（２）与上述结论进行类比，直线与圆的位置关系取决于哪几个数据？　　

（注重启发学生在探索时使用类比思想）　　

多媒体图形展示：直线l与圆Ｏ的三种位置关系　　

明确: 直线与圆的三种位置关系取决于圆心Ｏ到直线的距离d和圆的半径r 　　

                                                                    

 

直线与圆的三种位置关系中r与d的关系
直线与圆相交	d﹤r
直线与圆相切	d﹦r
直线与圆相离	d﹥r

    让学生猜想结果，通过多媒体动态演示                                                                                                                                                     　　

3．证明：　　

观察多媒体演示找出证明的突破口：直线与圆的位置关系可转化为点（垂足）与圆的位置关系来研究数量特征（指导学生把握知识间的联系与发展，培养学生的化归思想，使其形成严谨，求实的学习习惯）　　

                                                                                                                                                    　　

（1）直线与圆相离    ＜＝＞   垂足Ｐ在圆Ｏ外         ＜＝＞ d﹥r   　　

（2）直线与圆相切    ＜＝＞   垂足Ｐ在圆Ｏ上 ？？？  ＜＝＞ d﹦ r  　　

（3）直线与圆相交    ＜＝＞   垂足Ｐ在圆 Ｏ内         ＜＝＞ d﹤r  　　

　 　

注：直线与圆相切时垂足Ｐ所在位置，证明较难，要适当地安排学生进行讨论，集中集体智慧攻克难点。　　

要注意解释“＜＝＞”符号的作用，它说明直线与圆的位置关系和数量关系是可以相互得出，相互转化的。　　

　 　　　　

三．直线与圆的位置关系的判断方法

练习１．已知圆的半径是7.5cm，圆心到直线的距离为d，当d=10 cm时，直线与圆有       个公共点，当d=5 cm时，直线与圆有         个公共点，当d=7.5cm时直 线与圆有       个公共点。　　

　　　 　

练习2、已知⊙A的半径为3.5 ，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是____,⊙O与Y轴的位置关系是_____。　　

　 　

练习3．如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d =5，若⊙O与直线l至少有一个公共点，则r需满足的条件是       。　　

四   例题讲解　　

例1．在RT△ABC中，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm  (2) r=2.4cm   (3) r=3cm　　

分析：（1）直线与圆的位置关系,取决于哪两个数据？           　　

（2）怎样求CD？                          　　   　　

  　　　   (3)比较d与r，确定位置关系。                              　　

    

提示：即圆心c到ab的距离d=2.4cm

当r=2cm时，  有 d﹥r ，因此圆和直线相离

当r=2.4cm时，有 d=r ，因此圆和直线相切

当r=3cm时，  有 d﹤r ，因此圆和直线相交

 

五.知识应用：　　

练习4.

已知： RT△ABC的斜边AB=10 cm，∠A=30°。以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？当半径为多少时，AB与⊙C相交？当半径为多少时，AB与⊙C相离？　　

　　　　　　　　　　　　

练习5.

一船以20海里／小时的速度向正东航行，在Ａ处测得灯塔Ｃ在北偏东60度，继续航行１小时到达Ｂ处，再测得灯塔Ｃ在北偏东30度．已知灯塔Ｃ四周10海里内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？　　

　六，小结

 

 

直线与圆的位置关系	相交	相切	相离
公共点的个数	2	1	0
圆心到直线距离d与r的关系	d﹤r	d=r	d﹥r
公共点名称	交点	切点	无
直线名称	割线	切线	无

七．作业　

1、  教材练习1、2

2、探究题：

台风是一种在我省较为常见的自然灾害，它在以台风中心为圆心的数十千米乃至数百千米范围内肆虐，房屋、庄稼、汽车等将遭到极强破坏。2009年8月7日15时，在我省最南端距我省海岸线500公里处有一名叫“莫拉克”的台风。其中心最大风力为14级，每离开台风中心30km风力将降低一级。若此台风中心沿着北偏西 的方向以15km/h的速度移动，且台风中心风力不变。若城市所受到的台风风力为不小于4级，则称为受台风影响。（假设我省海岸线为一线段，长535km）

（1）我省会受到“莫拉克”台风的影响吗？

（2）若会受影响，我省将在何时受到台风影响?你能估算出台风开始影响我省海岸线的时间吗？