第四课时  按比例分配的实际问题

 

教学内容：第75页的例5及相应的“试一试”，“练一练”，练习十四第1~4题。

教学目标：1、使学生理解按比例分配实际问题的意义。

2、使学生通过运用比的意义和基本性质解答有关按比例分配的实际问题。

教学重点和难点：理解按比例分配实际问题的意义，掌握解题的关键。

教学过程：

一、导入

出示例5中的实物图。

提问：图中共有30个方格，平均分成两份，一份涂上黄色，一份涂上红色，每种颜色涂多少格？如果红色涂20格，黄色涂10格，红色与黄色方格数的比是多少？

指出：在实际生活中，有时并不是把一个数量平均分，而是按一定的比来分配。这就是我们今天要学习的新知识——按比例分配的实际问题。（板书课题）

二、新课

1、教学例5

（1）提问：3：2要表示的哪两个数量的比？这两个数量有什么样的联系呢？

思考：红色与黄色方格数的比是3：2，还可以怎么理解？

学生讨论。

①想：红色与黄色方格数的比是3：2，就是把30个方格平均分成5份，其中3份涂红色，2份涂黄色。

②想：红色与黄色方格数的比是3：2，红色方格占总格数的，黄色方格占。

③想：红色与黄色方格数的比是3：2，也就是红色方格数是黄色方格数的，或是黄色方格数是红色方格数的。

（2）解答例5。

①试试看，用你学过的知识来解答例2，并在学习小组内说说你是怎样想的？

②说说你是怎样做的？

方法一、3＋2=5  30÷5×3   30÷5×2   方法二、30×     30×

方法三、30÷（1＋）    方法四、30÷（1＋）

（3）比较一下这几种方法中哪种方法更好一些？为什么？(第二种方法好，好想好算。)

说说这种方法的思路？(红色与黄色方格数的比是3∶2，就是说，在30个方格里，红色方格数占3份，黄色方格数占2份，一共是5份，也就是说红色方格占总格数的，黄色方格占。)

(4)这道题做得对不对？如何进行检验？

请你检验一下同组同学做得对不对？(可以把求得的红色和黄色方格数相加，看是不是等于总方格数。或者可以把求得的红色和黄色方格数写成比的形式，看化简后是不是等于3∶2。)

也可以让学生涂一涂，进行验证。

2、教学例5后的试一试。

出示试一试。

提问：1：2：3表示哪几个数量之间的比？一共有6份，三种颜色的方格数各占方格总数的几分之几？大家会解答吗？

学生独立完成，指名板演。学生说解题过程。师根据学生回答板演。

3、归纳（讨论）
（1）观察我们今天学习的两道题目有什么共同特点？

已知总数量和各部分量的比，求各部分量．

（2）怎么解答？

求总份数，各部分量占总数量的几分之几，最后求各部分量．

（3）我们把具备上述特点，用这种特定方法解答的分配问题叫做“按比例分配”应用题．

（4）教师提问：分谁？怎么分？板书：把一个数量按照一定的比来进行分配．

三、巩固练习

1、练一练第一题

学生独立解答，指名板演。完成后集体订正，让学生说说解题思路。

2、练一练第二题

提问：分配的是什么？按照什么要求来分配？

指出：把180块巧克力按照三个班的人数来分配，就是把180按照35：31：24来分配。

3、练习十四第1题。

4、练习十四第4题

提问：三角形的内角和是多少度？直角三角形中两个锐角的度数和呢？

四、布置作业  练习十四第2、3题

五、总结

教学后记：

这部分内容是在学生理解了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把比的知识应用于解决相关的实际问题的一个课例，它是“平均分”问题的发展，掌握了按比例分配的解题方法，不仅能有效地解决生活、生产中把一个数量按照一定的比进行分配的问题，也为以后学习“比例”“比例尺”奠定了基础。
    新课程理念表明：数学教学的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多通过对重要的数学思想方法的领悟，对数学活动经验的条理化，对数学知识的自我组织等活动来实现，学生的数学学习，基本是一种符号化语言，与生活实际的相互融化与转化，并主动建构的过程。本课以学生生活中最熟悉的一个小实验——“配制蜜水”引入，根据小实验记录“蜂蜜50克、开水150克、蜜水200克”让学生用分数或比提出问题表示三个数量的关系，再让他们口答解决其中的几个问题，沟通比与分数的联系，把发现知识内在联系的机会与权利还给学生。同时老师也以参与者的身份参与提出问题、引出与例2相类似的问题，设置“悬念”导入新课学习。这样使学生意识到抽象的数学知识可以在现实生活中找到活生生的原型，“现实生活中蕴含着大量的数学信息”，感受到生活经验数学化与数学经验生活化，体现用数学思想与方法观察认识自然的客观世界与现实生活的真谛与价值之乐趣。
　　本课教学设计时，考虑到教材中例2讲的事例离学生生活实际较远，放手让学生自己探索有一定难度，为了创设让学生自主探索的情境，本课设计从师生根据生活实例发现产生的数学问题而引出与例2相类似的问题，例2“小红要调配200克蜜水，蜂蜜和开水后比是1：3，需用蜂蜜和开水各多少千克？”放手让学生自己探索用多种方法解决问题。在师生讲评中发现新的解答方法“1+3=4，200×1/4＝50(克)，200×3/4 =150(克)”，再着重分析这种解法的解题思路。这样在解题策略的开放过程中：即懂得用已掌握的方法解决新问题。又发现了新的解题方法；每位学生都体验着参与探索的乐趣。例3教学时，诱导学生迁移运用例2探索发现的新方法来解决新问题，并分析用新的方法解决新问题的思路。这样“一个发现问题——提出问题——解决问题——发现新方法——运用新方法解决新问题”的程序，是学生数学“再创造”的过程。正如建构主义学习观认为“数学学习是一个以学生已有知识和经验为基础的主动建构过程”。在这样的探索学习中，使每位学生的数学认知结构有不同程度的拓展，每位学生都体验着探索成功的喜悦。
　　为了使学生通过解决具体问题能抽象概括形成普遍方法，指导他们观察分析这类题目的结构，理解按比例分配的意义，并讨论解答按比例分配应用题一般的解题规律。①计算分配的总份数；②找出各部分数量占总数的几分之几；③运用分数乘法的意义解题。正如皮亚杰的认识论认为：学生学习新知识的过程，就是用原有知识和经验对新知识进行同化与顺应的过程，即对新知信息进行提取、加工、理解、重组、吸收内化的过程。这一过程应有老师的组织、参与和指导，有同伴的合作、交流与探索，有主体主动参与经历知识的发生、发展，体验新知的建构、应用，方能有效实现。
　　学生的数学学习不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。本课采取小组合作、交流探索的学习形式，引导学生“在沟通比与分数的联系基础上，发现问题、独立思考提出问题、小组合作解决问题、交流探究发现新方法、分析反思归纳解题规律、运用新方法解决新问题”在发现问题视角多向性、解决问题策略多样性，以及主动与他人交流中选择合适策略、丰富自己数学活动经验过程中，学会比较、分析、归纳、综合，促使数学思想方法的发展，经历数学知识的产生与发展，体验主动参与合作探究，建构新知的愉悦。获得数学知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的不同程度发展。

 

 

第五课时  按比例分配的问题练习

 

教学内容：练习十四第5—9

教学目标：

1、进一步理解按比例分配实际问题的意义。

2、通过运用比的意义和基本性质，进一步提高解答有关按比例分配的实际问题。

教学重点、难点：理解按比例分配实际问题的意义，掌握解题的关键。

对策：引导学生分析明晰题意，体会数量之间的关系。

教学预案：

一、基本练习

1、 写出几个比值是2/3的比。

2/3=4：6=8：12=10：15

学生独立完成再进行交流。

师：这些比是怎么得到的？你是怎样想的？

2、 盐与盐水的比是1：10，根据这个条件，你想到了什么？

引导学生从两个方面思考：（1）从份数来理解；（2）转化为分数来理解。

3、 从份数理解还是很容易的，转化成分数有点难度，继续训练转化成分数练习。请看书上第76页上的第6题。

学生思考口答。

二、解决实际问题：

1、一个学校食堂9月份与10月份用煤量的比7：8，两个月一共用煤3/4吨，这两个月各用煤多少吨？

先独立完成，再组织交流。复习解决问题的方法有两种：（1）从份数来考虑；（2）转化成分数问题再解决。

2、男生与女生的比是5：3，女生有12人，求男生有多少人？

请学生独立完成。组织交流，

估计学生解决的方法还是两种：（1）从份数来考虑；（2）转化成分数问题再解决。

3、总结：以上两题都可用两种方法解答，分别是怎样解决问题的？你喜欢哪种方法？

4、 书上第77页上的第7题

（1） 学生读题

（2） 独立思考，独立解题

（3） 引导学生分析：1：40是谁与谁的比？第1题中的“400克”是什么？怎样求水？第二题中的“400克”是什么？怎样求药粉？

三、变式练习

1、一个长方形的周长是40厘米，这个长方形的长与宽的比是2：3，那么长和宽各是多少厘米？

学生独立完成，如学生将40厘米按比例分配，可让学生检验。引导学生寻找错误原因。

追问：怎么改就可以了？

得到两种方案：（1）先将周长除以2后再按比例分配；（2）先把40厘米按比例分配，算出两条长和两条宽各是多少，再分别除以2，算出一条长和一条宽各是多少？

2、书上第77页上的第8题

（1） 学生读题，独立思考

（2） 引导学生分析：（1）三种材料是按怎样的比例配制的？你是怎么看的？

（2）第2题你是怎样解决的？你是怎样想的？（3）第3个问题什么意思，谁来用自己的话解释一下？引导学生体会到现在按2：3：5来配制，黄沙用去18吨时，水泥只用去18的2/3得12吨，所以还剩6吨，石子要用去18吨的5/3，得30吨，所以又要增加12吨。

（机动）如时间来不及，安排在自习课或数学活动课“大树有多高”一课中。

3、练习十四第9题

第1小题：

长方形的面积是24平方厘米，那么它的长和宽有哪几种可能？

   （24=1×24=2×12=3×8=4×6）。

所以现在知道长与宽的比是3：2，可以确定长是几，宽是几？

第2小题：读题，让学生体会到按刚才上面研究的方法计算出长和宽各是多少，再画图。

4、有一块菜地共720平方米，用它的2/5种西红柿，其余的种黄瓜和茄子，黄瓜和茄子占地面积的比是5：7，三种菜地各占地多少平方米？

（1）请学生独立思考完成。

（2）引导学生分析：题中的2/5怎样理解？5：7是谁与谁的比？怎样理解？怎样求黄瓜与茄子的面积？

5、 书上第77页上练习十四思考题

  两部分的面积的比是1：1，说明了分成的这两部分有什么关系？

  那应该怎样分？ 师：为什么可以这样分？

  生：因为它们的高相同，而底又是在同一条底上。

  如果两部分的面积的比是1：2，说明了分成的这两部分有什么关系？那应该怎样分？

教学后记：

按比例分配习题的特征是已知总数与分配的比，解题的策略是：1、转化成先求每一份后再求出这样的几份是多少；2、转化成分数后用分数应用题的方法来解答。这两种解题方法有固定的解题模式，学生掌握这个特征，可以提高解题的速度与正确率，但如果在课上过分强调了，会使学生思维定势。所以在练习课上，我经常补充一些对比练习，变式练习，帮助学生在辨析中认识解题的本质。

今天教学的是按比例分配的练习课。从教材的编排意图上看，要让学生把一个比转化成分数形式，第6题就是这方面的典型训练。

如第7题的第（1）问——400克药粉需加水多少克？可以把“药粉与水的质量的比是1 ：40”转化成“水是药数的40倍”直接用400×40计算。而求第2问“400克水中应加药粉多少克？”就转化为“药粉是水的1/40”直接用400×1/4计算。

但对于第8题的第三小题，两种方法学生觉得用份数好理解，18吨 3份，每份6吨，水泥多一份，黄沙需这样的5份，30吨，还要12吨。

第六课时  大树有多高

 

教学内容:实践活动“大树有多高”

教学目标:让学生通过动手实践和解决实际问题,进一步体会比的应用价值,增强数学的趣味性和挑战性。

教学资源：长度不一及长度相等的竹竿、卷尺、记录表

教学过程：

一、              问题引入：

  要知道一棵大树有多高，你有办法测量吗?能不能用我们学过的数学知识和方法解决这一问题呢？今天这节课我们将一起来研究大树有多高的问题。

二、              实践探素，发现规律。

（一）       量量比比（小组合作完成）

提出要求：1、在太阳光下，把几根同样长的竹竿直立在地面上，同时量出每根竹竿的影长。比较每次的测量结果，你发现了什么？

2、再把几根长度不同的竹竿直立在地面上，同时量出每根竹竿的影长。

（1）、按要求填表。

（2）、计算竹竿与影长的比值

（3）、讨论：根据每次求得的比值，你有什么发现？

（4）、得出结论：在同一地点同时测量不同的竹竿高度与影长的比值是相等的。

（二）议议做做

提出要求：1、根据上面测量和计算的结果，假设一根3米长的竹竿，当时直立在地面的影长是多少？

（1）           学生同桌交流。（2）集体交流是让学生说说自己的想法。

2、根据上面的发现，你能想办法测出一棵大树的高度吗？

让学生在小组里交流。并指名学生说说自己的想法。

3、实践操作：现在我们一起来做一做，看看你的方法行不行。

（1）           在太阳光下，先用一根竹竿的高度和影长及量出当时大树的影长，并把结果填在下表里。

（2）           由学生各自算一算大树的高度。

（3）           小组讨论各自的想法。

（4）           提问：在测量竹竿的影长之后，如果过了一段较长的时间，再测量大树的影长。这样计算的结果还准确吗？为什么？

三、拓展延伸：根据求大树高度经验，让学生计算某楼房、旗杆的高度。

教学后记

课前思考：

《大树有多高》这是一节数学实践活动课，本课时是在学生已经理解比的意义和基本性质以及会求比值、化简比的基础上教学的。主要目的是让学生通过动手实践和解决实际问题，进一步体会比的应用价值，增强数学学习的趣味性和挑战性。

教学时可分两大环节：第一环节“量量比比”，先引导学生探索发现“在同一地点，同时测量长度不同的竹竿，高度与影长的比值是相等的”这一规律。教学前教师要做好活动的准备工作，如找好几根同样长的竹竿，准备好卷尺或米尺；学生测量时教师要巡视学生测量是否准确，操作有无错误等，尽量使测量出的数据准确些。第二环节“议议做做”，教师要启发学生用发现的规律解决“大树有多高”的问题，教学中可以先让学生讨论采用怎样的办法来测量，然后分组测量，最后进行交流。当学生们都能采用正确的方法测量出大树高度后，教师还可以组织学生继续以小组合作的形式仿照这一方法来测量出教学楼、旗杆等的高度。活动的组织是否有序直接影响活动的质量，所以对教师的教学组织能力提出了挑战，课前教师一定要考虑周全，做好小组活动的各种准备工作，以提高活动课的教学有效性。

既然是一节活动课，就要让学生在活动中充分体验解决问题的乐趣，感受数学方法的价值和魅力。