笔者的一篇课例——《比公式更重要的是什么？》发表在《小学教学》（数学版）2018年第7、8期合刊上，应编辑老师的邀请，参加了 朱乐平老师“一课研究”团队与《小学教学》编辑部联合举办的“期刊导读”网络交流活动。下面就是笔者围绕该课例发言的内容。                               

                素养导向下的数学教学

                                         ——《长方体的体积》教学思考

各位老师，大家好！

今天就我发表在《小学教学》（数学版）2018年第7、8期上的一节课例——《公式更重要的是什么？——长方体的体积 案例与思考》跟老师们做一个交流，欢迎大家批评指正！

我是一名一线数学教师，平时喜欢做一些课例研究。研究重在“教学实践的理论性反思”，也就是用具体的、典型性的例子引出一些普遍性的道理，这样不仅可以对教学案例进行更深入的理解，也能为新的教学活动提供有益的启示。我选取的这节“长方体的体积”课例， 也力求“小中见大”，研究、探讨基础性内容领域落实数学核心素养培育的基本路径与策略问题。

《长方体的体积》一课的重要学习目标是理解、掌握“长方体的体积计算公式”，并学会运用公式解决一些简单的实际问题，这些都是显性的知识技能目标。除此之外，还能让学生有哪些收获呢？如何以知识技能的学习为载体，启发学生理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学思想，积累数学思维和实践的经验，为形成和发展数学核心素养作出贡献呢？这是我在备课时集中思考的问题，并在教学中做了尝试，收到了比较好的效果。归纳起来，这节课重点关注了以下几个方面：

一、注重启发学生理解知识的本质

数学是需要讲道理的。帮助学生“悟出”数学知识蕴含的道理，才能更好地把握知识的本质，促进学生数学素养的提升。

我们知道，长方体的体积计算公式是长×宽×高。那么，这一公式背后的数学道理是什么呢？我认为，数学意义上的体积测量，其实质是要对某个立体图形指定一个合适的数，并使之满足一些特性。就长方体而言，它的体积就等于其包含的体积单位的个数。

课前调研发现，其实有不少学生已经知道了“长方体的体积=长×宽×高”这个计算公式，但是并不清楚公式是怎样推导出来的，更不理解公式的内涵本质是什么。面对学生的“未教先知”，怎么引导学生从“一知半解”到“入木三分”地深刻理解呢？

实践证明，要想让学生牢固地掌握数学，就需要让学生在探索与体验中学习数学。为此，我在教学中注重让学生亲身经历计算公式的推导过程。

首先，让学生在核心问题的驱动下，动手用小正方体拼摆出不同的长方体。再让学生找出不同长方体的体积和长、宽、高的数据，思考、讨论长方体的体积与长、宽、高之间的关系。在这个过程中，我适时追问：“用长×宽×高计算出的是什么”，使学生体会到“用长×宽×高就得到体积单位的个数，也就是体积。”从而初步归纳出长方体体积的计算方法。

接着，进一步追问：“我们刚才交流的这几个长方体的体积确实都等于长×宽×高，那么是不是所有的长方体都是这样呢？”把学生的思维进一步引向深入。通过数形结合，将体积计算公式由特殊推广到一般，使学生真正理解了长方体体积公式是怎么推导出来的，也真正理解了“长方体的体积就是长方体中包含的体积单位个数”。

然后，教师站在学生的视角进一步“追问”：计算公式中的“长×宽”算出来的究竟是什么？是“一层小方块的体积”还是长方体的“底面积”？启发学生深入思考，让学生充分发表自己的观点，进行思维的碰撞，并借助课件直观地演示“面”的移动形成“体”，感知到长方体的体积与它的底面的面积和高有关，归纳总结出长方体体积的另一个计算公式，也就是体积=底面积×高。在这个过程中，学生展开想象，进行类推，从中感受到了二维平面与三维空间的转换。接着，课件演示动态移动长方体的右面形成不同长度的长方体，发现其体积的计算公式，也就是“体积=横截面的面积×长”，从而举一反三地将长方体体积的不同计算公式进行沟通，形成结构化的知识。

经过这样的探究活动过程，学生不仅解决了存在于头脑中的真问题，对数学知识的本质有了更为深刻的理解，而且通过图形的运动变化、进行空间想象及平面与立体的转化，直观想象素养也得到了培养。

二、注重让学生感悟知识蕴含的思想方法。

数学知识的本质常常是那些隐藏着的、决定数学现象的基本概念、一般原理、原始方法。这些基本概念、原理、方法往往具有基础性、普遍性，也是学生比较容易理解的。数学教学若能与它们联系起来，就能使数学知识的本质与核心展现出来，我们说这样的教学就有了“深度”。有深度的教学因为把新知识与更为基础的、普遍的内容相联系，常使学生有“恍然大悟”之感，产生“噢，原来是这样”的感慨。

长方体的体积就是长方体中包含的体积单位的个数，有没有相关的已学知识与经验可以和新知建立联系呢？我把目光投向了已学旧知“长度”和“面积”。

长度、面积和体积是最基本的度量几何学概念。这三者除了图形的维度不同，作为一种测量过程其本质是一样的。测量，不仅仅是拿计量单位去测量，数学测量的本质是给每一条线段、每一个平面图形、立体图形以合适的数。教学中，长度、面积、体积测量的数学意义可以给予统一的处理。

基于此，笔者从“线段的长度就是它所包含的长度单位的数量”、“长方形的面积就是它所包含的面积单位的数量”，顺势引出了“怎样知道长方体的体积有多大？”的问题。由于有了前面两个问题的铺垫，学生通过类比、迁移，自然想到要用体积单位去度量。这样不仅赋予体积单位以实际的意义，呈现测量的数学本质，同时也顺利地引出“用边长为1的正方体摆长方体”这一实践活动。这样，新知识就从学生原有的知识里面自然生长出来，让学生感觉到这个经验与我原来的经验是相关的，而且新的经验对我是有用的。

上述教学好处不仅如此，更重要的是由于教师并没有“一叶障目”，孤立地看待“长方体体积”这一个“知识点”，而是从长方体体积这一具体的教学任务中跳离出来，将长方体体积公式的教学提升到“度量”的高度，进而，与线、面的度量统一到一起，不仅顺利实现了学生知识的迁移，同时，也让学生体会到线、面、体的测量其实质是一样的，都是用相应计量单位去度量，有几个计量单位，其数量就是几。有利于学生构建起良好的认知结构，感悟到“计算公式”背后的“大道理”，也就是“度量”的思想。

三、注重学生思维经验与实践经验的积累

数学教育的基本目标是通过数学教学帮助学生学会思维，它比知识本身更具有可持续发展的价值。如何在学习知识的过程中促进学生思维的发展呢？

首先，引导学生“想清楚”。学生在教师的启发引导下，学习着这样的思考：长方体体积的大小，就是指它所包含的体积单位的个数。长方体所包含的体积单位的个数，与它的长、宽、高之间有着怎样的关系呢？长方体的体积真的等于长×宽×高吗？能否利用小正方体摆一些长方体，试着从中去寻找体积与长、宽、高的关系，以验证长方体体积的计算公式呢？

在“想清楚”研究方法之后，再放手让学生去动手拼摆长方体，学生通过观察所呈现的长方体，收集相关数据，寻找体积与长、宽、高之间的联系，归纳出其体积的计算方法。学生亲身经历利用数形结合探究问题的过程，不仅获得了长方体体积的计算公式，而且积累了如何进行探究的思维经验和实践经验，对学生核心素养的形成和发展方面所产生的作用，是那种在教师指令下进行的动手操作所远不能及的。

然后，继续“刨根问底”，追问“是不是所有长方体的体积都等于长乘宽乘高呢？”引导学生进一步深入思考、探究，渗透“从特殊到一般”的研究方式，验证了公式的普适性，提升了学生思维的全面性与深刻性。如上所述，正是将“动手”与“动脑”有机结合了起来，帮助学生对长方体体积计算公式的理解由“一知半解”达到了“入木三分”。

最后，在课的结尾，有意识地给学生提供反思自己学习的机会，帮助学生借助反思更有效地发展思维。老师的反问：“想一想，我们是怎么得到长方体的体积公式的？在这个过程中用到了哪些有用的方法呢？”就是在教学生学会用数学的思维方式思考问题，教学生总结有价值的学习方法。如此经常性地引导学生对自己的学习活动进行反思，就能促进学生的思维由较低层次不断上升到更高一级的层次。

以上就是我关于这节课的一些思考，不当之处，请各位老师多多批评指正！谢谢大家！