“长方形的面积与周长的关系”教学设计

 

教学目标：

1、在自主探究活动中，发现“当长方形的周长一定时，长和宽越接近面积就越大，正方形的面积最大”的规律。

2、在主动探索、交流的过程中，尝试用枚举法、列表等方法探究规律，体会有序思考及数形结合的思想。

3、体会数学在生活中的应用价值，更加喜欢探索数学知识。

教学重点：经历探究过程，发现长方形周长和面积之间的关系。

教学难点：学会有序全面的思考问题。

教学过程：

一、引入。

师：这里有两根铁丝，一根长20厘米，一根长24厘米，用这两根铁丝分别围成一个长方形。猜一猜，哪根铁丝围成的长方形面积大？

生1：用24厘米围出的长方形面积大。（其他同学都表示同意）

师：为什么？

生：因为24厘米比20厘米长。

师：你们的意思是周长长的面积就大？

生：是的。

师：真的是这样吗？

生1：不一定。（更多的孩子陷入了沉思）

师：看看，有不同的声音出现了吧？有什么办法能验证这个想法是不是正确呢？数学上经常用的方法是找“反例”，也就是只要能找到一个周长短但面积反而大的例子就能证明刚才的说法是错误的。试一试，你能找到反例吗？

学生独立思考、尝试后，全班交流：

生1：     4cm              图一

                 6cm

1cm

                     11cm   图二

图一的周长是（4+6）×2=20（cm）,面积是4×6=24（cm²）

图二的周长是（1+11）×2=22（cm），面积是1×11=11（cm²）

周长是20的长方形面积是24，比周长是22的面积11大多了。

师：你是怎么想到长方形的长与宽是4和6的？

生1：（长+宽）×2=周长，所以“周长÷2=长+宽”，长+宽=10，我就想到长是6cm，宽是4cm。

师：大家听明白了吗？根据长方形的周长先求出长加宽的和是几，再举例子验证，是个好方法！经过验证，我们发现，周长长的长方形面积真的不一定大。

师：如果我们用两根24厘米长的铁丝分别围出一个长方形和正方形，这两个图形的周长分别是多少？

生：周长都是24厘米。

师：它们的周长相等，那么你来猜一猜它们谁的面积大？

学生的想法不一。

师：在周长一定的情况下，你们有了这样的猜想：长方形的面积大；正方形的面积大；长方形和正方形的面积一样大（板书）怎么验证哪个猜想正确呢？

生：可以举例子，列出长方形的长和宽及正方形的边长，求出面积来验证。

      生：还可以画出长方形和正方形，算出它们的面积来验证。

师：围出的长方形的长和宽是多少呢？面积是多少呢？还有没有其它不同的长方形呢？你能不能把它们一一列举出来。

【意图：上课伊始，通过拿两根长度不同的铁丝围成长方形让学生比较面积大小，引起思考，引发猜想，激发学习欲望，既复习了“长方形的周长与长加宽的关系”这一旧知，同时也让学生初步感受到“得出正确的结论一定要经过验证”、“可以采用找反例的方法来验证结论是否正确”。在此基础上，引发学生进行第二次猜想，顺势引出新课的学习。】

二、展开。

 1、学生独立思考，填写练习纸上的如下表格。

用24cm长的铁丝围一个长方形或正方形，它的面积可能是多少？

序号	周长（cm）	长（cm）	宽（cm）	面积（cm2）
①	24	11	1	11
②	24	10	2	20
③	24	9	3	27
④	24	8	4	32
⑤	24	7	5	35
⑥	24	6	6	36

师：仔细观察，你发现什么规律了吗？先在小组内交流一下。

小组交流后，全班交流：

生1：我发现从上往下看，长越来越小了。

生2：从上往下砍，宽越来越大了。

师：长越来越大，宽越来越小，说明长与宽相差得越来越——

生：小。

师：长与宽相差得越来越小，我们就说长与宽越来越接近。还有什么发现？

生3：从上往下看，面积越来越大。

生4：我发现，正方形的面积最大。

师：面积的大小变化与长和宽的大小变化有联系吗？有什么联系呢？再仔细看看，好好想一想？

生5：我长与宽越接近，长方形的面积越大。当长与宽相等的时候，面积是最大的。

师：同学们真了不起！发现了长方形的周长与面积之间的关系：当周长一定时，长和宽相差越小，围成的面积越大。正方形的面积比长方形的大。可是，你们想一想，为什么当周长一定时，长与宽越接近，它的面积就越大呢？下面，那我们来看一看课件演示来解答这个秘密。

课件动态演示：

师：当长减少1厘米时，面积就相当于减少了1平方厘米，我们来看看，减少的是哪部分。（课件闪动）当宽增加1厘米时，面积就相当于增加了10平方厘米，我们再来看看，增加的是哪部分，实际上面积就增加了多少平方厘米？（9）

师：再认真观察，当长又减少1厘米时，面积就相当于减少了2平方厘米，我们来看看，减少的是哪部分，（课件闪动）当宽增加1厘米时，面积就相当于增加了9平方厘米，我们再来看看，增加的是哪部分，实际上面积就增加了多少平方厘米？（7）

师：我们接着往下看看，看看减少的是哪部分的面积，增加的是哪部分的面积？

生：我明白了，减少的和增加的数量不一样，长与宽越接近，实际增加的越多，面积就越大。

师：同学们，当我们得出一个结论的时候，不光要知道这个结论是什么，还要深入思考为什么会有这样的结论。

【意图：让学生在刚刚验证猜想后通过动态直观图的展示，让学生对待数学知识“不但知其然，而且知其所以然”，培养学生严谨的学习态度。另外，结合图形让学生理解，促使形象思维与抽象思维相结合，最终把复杂问题变得简单，让学生更加深入地理解所验证的结论。】

三、应用。

    1、判断并说明理由。

（1）正方形的面积比方形面积大。（）

（2）周长相等的长方形，面积也相等。（）

【意图：让学生更好地体会长方形的周长和面积之间的关系。只有在周长一定的时候，才可以去比较长正方形的面积，再次体会当周长一定的时候，面积是会发生改变的。】

2、介绍“大数学家欧拉的故事”：

欧拉是著名的数学家，他小时候，要帮助爸爸放羊。爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，面积正好是600平方米，爸爸算了算，围这样一个羊圈，需要用110米长的篱笆，可他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。正当父亲感到为难的时候，小欧拉却向父亲说：“我能用100米长的篱笆，围成一个比这个羊圈面积还大的羊圈。”

你知道欧拉是怎样解决爸爸的这个难题的？

师：请你先在纸上算一算，然后和同伴交流你的意见。

师：我们来看看欧拉是不是像你们这样解决的。欧拉的确把原来计划中的羊圈变成了一个边长为25米的正方形。他用仅有的100米的材料，不仅解决了这个问题，而且还使羊圈的面积变大了。你们看，这就是学习数学的价值所在，学习数学可以使我们越变越聪明。

【意图：选用数学家小时候的故事，更能激发学生解决问题的欲望，获得更多成功的喜悦，更能体会到了学习数学的价值——可以使我们变得越来越聪明。】

四、回顾与总结

    通过本节课的学习，你有什么体会？